Fatore as expressões.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
O enunciado pede para fatorar as seguintes expressões:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Informações relevantes fornecidas: cada item é um polinômio (ou trinômio) em
(e em
no item e). O objetivo é escrever cada expressão como produto de fatores (quando possível, identificar quadrados perfeitos ou fator comum).
Passo 2
Antes de começar a fatorar, vamos lembrar e aprender algumas idéias que vou usar várias vezes — tudo explicado devagarinho.
- Identificar um quadrado perfeito: a identidade básica é
Isso quer dizer que, se um trinômio tem a forma
, então ele é igual a
. Da mesma forma,
Ao olhar um trinômio, pergunte: consigo escrever o primeiro termo como um quadrado (
), o último termo como um quadrado (
) e o termo do meio é
(com sinal apropriado)? Se sim, é um quadrado perfeito.
-
Fator comum: se todos os coeficientes tiverem um fator em comum (por exemplo
), é conveniente colocar esse fator em evidência primeiro: . Depois operamos no parêntese. -
Substituição temporária: às vezes é prático definir uma nova variável, por exemplo
, para ver melhor a forma do polinômio; depois substitui-se de volta.
Vou aplicar essas ideias item por item.
Passo 3
Analisar
.
- O primeiro termo é
, que é . - O último termo é
, que é . - O termo do meio é
. Compare com da identidade: se e , então . Corresponde exatamente.
Portanto o trinômio tem a forma
com
e
, logo é um quadrado perfeito:
Passo 4
Analisar
.
- O primeiro termo é
. - O último termo é
. - O termo do meio é
. Se e , então . Como o termo do meio é negativo, corresponde a .
Assim o trinômio é da forma
com
e
, logo
Passo 5
Analisar
.
- Primeiro, procurar fator comum: todos os coeficientes têm fator
. Colocando em evidência:
- Agora dentro do parêntese temos
. Observe que , e o termo do meio é . Se e , então . Logo .
Voltando:
Passo 6
Analisar
.
- O primeiro termo é
. - O último termo é
. - O termo do meio é
. Compare com : se e , então , com sinal negativo fica .
Portanto é um quadrado perfeito:
Passo 7
Analisar
.
- O primeiro termo é
. - O último termo é
. - O termo do meio é
. Se e , então .
Logo é um quadrado perfeito:
Passo 8
Analisar
.
- Fazer a substituição temporária
. A expressão fica . - Agora
(pois é um quadrado perfeito com e ).
Voltando para a variável original:
Passo 9
Analisar
.
- O primeiro termo é
. - O último termo é
. - O termo do meio é
. Se e , então , com sinal negativo corresponde a .
Assim:
Passo 10
Analisar
.
- Observe que
e . - O termo do meio é
. Se e , então
que coincide com o termo do meio (positivo).
Logo é quadrado perfeito:
Passo 11
Boa! Todas as expressões eram trinômios que caem na categoria de quadrados perfeitos (algumas precisaram retirar fator comum, e uma usei substituição). Sempre que vir um trinômio, verifique primeiro se o primeiro e o último termos são quadrados e se o termo do meio bate com
— isso resolve muita coisa rápido. Força nos estudos, você já descomplicou vários casos com esses padrões!
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)