Fatore as expressões.
a)
.
b)
c)
d)
e)
f)
.
g)
.
h)
i)
j)
.
k)
.
l)
.
m)
n)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Passo 1
O enunciado pede para fatorar as seguintes expressões (cada item é uma expressão a ser escrita como produto de fatores):
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
i) .
j) .
k) .
l) .
m) .
n) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
Estas são todas as informações dadas; a tarefa é escrever cada uma na forma de fatores (quando possível, usando fatoração em fatores lineares ou quadráticos).
Passo 2
Ferramenta principal: a identidade diferença de quadrados. Ela diz que, para quaisquer quantidades
e
,
Explicação do que cada símbolo significa:
e
podem ser números, monômios ou expressões;
significa
ao quadrado; o resultado é o produto de duas diferenças/somas. Exemplo simples:
. Vamos aplicar essa identidade sempre que reconhecermos um termo como “algo ao quadrado” menos “algo ao quadrado”.
Passo 3
Item (a):
.
Reconhecer como diferença de quadrados com e
(porque
). Aplicando a fórmula:
Reconhecer como diferença de quadrados com
Passo 4
Item (b):
.
Aqui e
. Usando diferença de quadrados com
e
:
Aqui
Passo 5
Item (c):
.
Escreva cada termo como quadrado: e
. Aplicando diferença de quadrados:
Escreva cada termo como quadrado:
Se quiser, pode multiplicar fatores por 2 para limpar denominadores, mas a forma acima já é fatorada.
Passo 6
Item (d):
.
Aqui . Com
,
:
Aqui
Passo 7
Item (e):
.
Podemos ver e
não é um quadrado perfeito racional. Como diferença de quadrados em termos reais:
Podemos ver
Observação: se se exige fatoração com coeficientes racionais, este polinômio é irredutível sobre os racionais; sobre os reais usa-se a forma com
.
Passo 8
Item (f):
.
Primeiro escrever como diferença de quadrados: e
. Então
Primeiro escrever como diferença de quadrados:
Para fatorar completamente em fatores com coeficientes inteiros sem constantes comuns, podemos retirar o fator comum
porque
. Assim:
Passo 9
Item (g):
.
Escreva e
. Aplicando a fórmula:
Escreva
Passo 10
Item (h):
.
Escrevemos . Então é diferença de quadrados com
,
:
Escrevemos
Observação: essa fatoração usa coeficiente irracional
. Sobre os racionais, é irreduzível como produto de polinômios com coeficientes racionais (a não ser que se permita fatores lineares com coeficientes irracionais).
Passo 11
Item (i):
.
Note que e
. Aplicando diferença de quadrados com
,
:
Note que
Comentário:
não são fatores que se quebram em fatorações racionais adicionais (poderia fatorar usando raízes irracionais em níveis posteriores, mas em exercícios usuais essa etapa é suficiente).
Passo 12
Item (j):
.
Fator comum primeiro:
Fator comum
Depois
é diferença de quadrados:
. Assim
Passo 13
Item (k):
.
Escreva como diferença de quadrados de frações: e
. Logo
Escreva como diferença de quadrados de frações:
Se preferir limpar denominadores em cada fator, pode escrever
, mas a forma anterior já mostra claramente a fatoração.
Passo 14
Item (l):
.
Isto é um polinômio de grau . Não existe uma fatoração não-trivial em fatores polinomiais de grau menor com coeficientes racionais (além de
). Portanto está já na forma fatorada (linear):
Isto é um polinômio de grau
Passo 15
Item (m):
.
Escreva como diferença de quadrados de razões: e
. Assim
Escreva como diferença de quadrados de razões:
Opcionalmente pode colocar os fatores com denominador comum:
, mas a forma com diferença de quadrados é mais direta.
Passo 16
Item (n):
.
Reconhecer como diferença de quadrados: é um quadrado e
. Portanto
Reconhecer como diferença de quadrados:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)