Fatore as expressões.
a) x^{2}+10 x+25
b) 4 x^{2}-12 x+9
c) 3 x^{2}+12 x+12
d) x^{2}-x+\frac{1}{4}
e) 16 x^{2}+40 x y+25 y^{2}
f) x^{2} y^{2}-2 x y+1
g) x^{2}-2 \sqrt{3} x+3
h) \frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{3}+\frac{1}{9}

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as seguintes expressões:
a) x^{2}+10 x+25
b) 4 x^{2}-12 x+9
c) 3 x^{2}+12 x+12
d) x^{2}-x+\frac{1}{4}
e) 16 x^{2}+40 x y+25 y^{2}
f) x^{2} y^{2}-2 x y+1
g) x^{2}-2 \sqrt{3} x+3
h) \frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{3}+\frac{1}{9}
Informações relevantes fornecidas: cada item é um polinômio (ou trinômio) em x (e em y no item e). O objetivo é escrever cada expressão como produto de fatores (quando possível, identificar quadrados perfeitos ou fator comum).

Passo 2

Antes de começar a fatorar, vamos lembrar e aprender algumas idéias que vou usar várias vezes — tudo explicado devagarinho.
  • Identificar um quadrado perfeito: a identidade básica é
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Isso quer dizer que, se um trinômio tem a forma a^{2}+2ab+b^{2}, então ele é igual a (a+b)^{2}. Da mesma forma,
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Ao olhar um trinômio, pergunte: consigo escrever o primeiro termo como um quadrado ( a^{2}), o último termo como um quadrado ( b^{2}) e o termo do meio é 2ab (com sinal apropriado)? Se sim, é um quadrado perfeito.
  • Fator comum: se todos os coeficientes tiverem um fator em comum (por exemplo 3), é conveniente colocar esse fator em evidência primeiro: 3x^{2}+12x+12 = 3(x^{2}+4x+4). Depois operamos no parêntese.
  • Substituição temporária: às vezes é prático definir uma nova variável, por exemplo z=xy, para ver melhor a forma do polinômio; depois substitui-se de volta.
Vou aplicar essas ideias item por item.

Passo 3

Analisar x^{2}+10 x+25.
  • O primeiro termo é x^{2}, que é (x)^{2}.
  • O último termo é 25, que é 5^{2}.
  • O termo do meio é 10x. Compare com 2ab da identidade: se a=x e b=5, então 2ab=2\cdot x\cdot5=10x. Corresponde exatamente.
Portanto o trinômio tem a forma a^{2}+2ab+b^{2} com a=x e b=5, logo é um quadrado perfeito:
x^{2}+10x+25=(x+5)^{2}.

Passo 4

Analisar 4 x^{2}-12 x+9.
  • O primeiro termo é 4x^{2}=(2x)^{2}.
  • O último termo é 9=3^{2}.
  • O termo do meio é -12x. Se a=2x e b=3, então 2ab=2\cdot(2x)\cdot3=12x. Como o termo do meio é negativo, corresponde a -2ab.
Assim o trinômio é da forma a^{2}-2ab+b^{2} com a=2x e b=3, logo
4x^{2}-12x+9=(2x-3)^{2}.

Passo 5

Analisar 3 x^{2}+12 x+12.
  • Primeiro, procurar fator comum: todos os coeficientes têm fator 3. Colocando em evidência:
3x^{2}+12x+12=3\bigl(x^{2}+4x+4\bigr).
  • Agora dentro do parêntese temos x^{2}+4x+4. Observe que x^{2}=(x)^{2}, 4=(2)^{2} e o termo do meio é 4x. Se a=x e b=2, então 2ab=2\cdot x\cdot2=4x. Logo x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}.
Voltando:
3x^{2}+12x+12=3(x+2)^{2}.

Passo 6

Analisar x^{2}-x+\frac{1}{4}.
  • O primeiro termo é x^{2}=(x)^{2}.
  • O último termo é \frac{1}{4}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}.
  • O termo do meio é -x. Compare com -2ab: se a=x e b=\tfrac{1}{2}, então 2ab=2\cdot x\cdot \tfrac{1}{2}=x, com sinal negativo fica -x.
Portanto é um quadrado perfeito:
x^{2}-x+\tfrac{1}{4}=\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}.

Passo 7

Analisar 16 x^{2}+40 x y+25 y^{2}.
  • O primeiro termo é 16x^{2}=(4x)^{2}.
  • O último termo é 25y^{2}=(5y)^{2}.
  • O termo do meio é 40xy. Se a=4x e b=5y, então 2ab=2\cdot(4x)\cdot(5y)=40xy.
Logo é um quadrado perfeito:
16x^{2}+40xy+25y^{2}=(4x+5y)^{2}.

Passo 8

Analisar x^{2} y^{2}-2 x y+1.
  • Fazer a substituição temporária \,z=xy. A expressão fica z^{2}-2z+1.
  • Agora z^{2}-2z+1=(z-1)^{2} (pois é um quadrado perfeito com a=z e b=1).
Voltando para a variável original:
x^{2}y^{2}-2xy+1=(xy-1)^{2}.

Passo 9

Analisar x^{2}-2 \sqrt{3} x+3.
  • O primeiro termo é x^{2}=(x)^{2}.
  • O último termo é 3=(\sqrt{3})^{2}.
  • O termo do meio é -2\sqrt{3}\,x. Se a=x e b=\sqrt{3}, então 2ab=2\cdot x\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}\,x, com sinal negativo corresponde a -2\sqrt{3}\,x.
Assim:
x^{2}-2\sqrt{3}\,x+3=(x-\sqrt{3})^{2}.

Passo 10

Analisar \frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{3}+\frac{1}{9}.
  • Observe que \frac{x^{2}}{4}=\left(\tfrac{x}{2}\right)^{2} e \frac{1}{9}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}.
  • O termo do meio é \frac{x}{3}. Se a=\tfrac{x}{2} e b=\tfrac{1}{3}, então
2ab=2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{x}{3},
que coincide com o termo do meio (positivo).
Logo é quadrado perfeito:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{x}{3}+\frac{1}{9}=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\right)^{2}.

Passo 11

Boa! Todas as expressões eram trinômios que caem na categoria de quadrados perfeitos (algumas precisaram retirar fator comum, e uma usei substituição). Sempre que vir um trinômio, verifique primeiro se o primeiro e o último termos são quadrados e se o termo do meio bate com 2ab — isso resolve muita coisa rápido. Força nos estudos, você já descomplicou vários casos com esses padrões!

Resposta

a) (x+5)^{2}
b) (2x-3)^{2}
c) 3(x+2)^{2}
d) \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}
e) (4x+5y)^{2}
f) (xy-1)^{2}
g) (x-\sqrt{3})^{2}
h) \left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{3}\right)^{2}

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