Fatore as expressões.
25-x^{8}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede: fatorar a expressão \,25 - x^{8}.
  • Dado: um polinômio em x de grau 8, com termos 25 e -x^{8}.
Vou trabalhar o problema fatorando passo a passo até obter fatores de grau menor; sempre que usar uma fórmula ou substituição vou explicar o porquê.

Passo 2

Escolha do método (por que usar diferença de quadrados).
  • A expressão tem a forma \,A - B com A=25 e B=x^{8}.
  • Note que 25 = 5^{2} e x^{8} = (x^{4})^{2}. Portanto é uma diferença de quadrados no formato \,a^{2}-b^{2}.
  • Fórmula útil (e básica): \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Vou aplicar essa fórmula primeiro.

Passo 3

Aplicando a diferença de quadrados uma vez.
  • Tomando a=5 e b=x^{4} na fórmula \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), obtém-se:
25 - x^{8} = (5 - x^{4})(5 + x^{4}).
  • Já reduziu o grau máximo de 8 para fatores de grau 4 — bom progresso.

Passo 4

Fatorando o fator \,5 - x^{4} (outra vez diferença de quadrados).
  • Repare que \,5 = (\sqrt{5})^{2} e x^{4} = (x^{2})^{2}. Então \,5 - x^{4} também é diferença de quadrados:
5 - x^{4} = (\sqrt{5} - x^{2})(\sqrt{5} + x^{2}).
  • Aqui usei novamente \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) com a=\sqrt{5} e b=x^{2}.

Passo 5

Fatorando o outro fator \,5 + x^{4}. (Não é diferença de quadrados, é soma de quadrados.)
  • \,5 + x^{4} não é imediatamente uma diferença de quadrados, mas pode fatorar como produto de dois quadráticos com termos simétricos.
  • Procuro uma fatoração do tipo
x^{4}+5=(x^{2}+a x+b)(x^{2}-a x+b).
  • Expando o produto:
(x^{2}+a x+b)(x^{2}-a x+b)=x^{4}+(2b-a^{2})x^{2}+b^{2}.
  • Para que isso seja igual a x^{4}+0\cdot x^{2}+5 preciso que
2b-a^{2}=0,\qquad b^{2}=5.
  • Da segunda equação b^{2}=5 tomo b=\sqrt{5} (escolho o sinal positivo para obter os coeficientes mostrados abaixo).
  • Da primeira equação 2b-a^{2}=0 vem a^{2}=2b=2\sqrt{5}, logo a=\sqrt{2\sqrt{5}}.
  • Assim
5+x^{4}=(x^{2}+\sqrt{2\sqrt{5}}\,x+\sqrt{5})(x^{2}-\sqrt{2\sqrt{5}}\,x+\sqrt{5}).
  • Observação: esses dois quadráticos têm discriminante negativo (logo não têm raízes reais), então são irreduzíveis sobre \mathbb{R} em fatores lineares (mas são quadráticos reais).

Passo 6

Juntando os fatores obtidos até agora.
  • Reunindo as fatorações dos passos anteriores:
25-x^{8}=(\sqrt{5}-x^{2})(\sqrt{5}+x^{2})(x^{2}+\sqrt{2\sqrt{5}}\,x+\sqrt{5})(x^{2}-\sqrt{2\sqrt{5}}\,x+\sqrt{5}).

Passo 7

Se desejar, fatorar mais um passo \,(\sqrt{5}-x^{2}) em fatores lineares reais.
  • Note que \sqrt{5}-x^{2} é novamente diferença de quadrados porque \sqrt{5}=(\sqrt[4]{5})^{2}. Assim:
\sqrt{5}-x^{2}=(\sqrt[4]{5}-x)(\sqrt[4]{5}+x).
  • O fator \sqrt{5}+x^{2} não se reduz a fatores lineares reais (pois teria x^{2}=-\sqrt{5}, sem solução real), então fica como quadrático irreduzível real.

Passo 8

Resumo das possíveis formas finais (dependendo do “grau” de fatoração que se quer).
  • Fatoração com coeficientes racionais (parada natural sobre \mathbb{Q}):
25-x^{8}=(5-x^{4})(5+x^{4}).
  • Fatoração em fatores quadráticos/lineares com coeficientes reais (mais refinada):
25-x^{8}=(\sqrt[4]{5}-x)(\sqrt[4]{5}+x)(\sqrt{5}+x^{2})(x^{2}+\sqrt{2\sqrt{5}}\,x+\sqrt{5})(x^{2}-\sqrt{2\sqrt{5}}\,x+\sqrt{5}).
  • Uma forma intermediária (quadráticos com radicais) que já demos no passo 6:
25-x^{8}=(\sqrt{5}-x^{2})(\sqrt{5}+x^{2})(x^{2}+\sqrt{2\sqrt{5}}\,x+\sqrt{5})(x^{2}-\sqrt{2\sqrt{5}}\,x+\sqrt{5}).

Resposta

(5-x^{4})(5+x^{4})

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