Fatore as expressões.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
- Pede: fatorar a expressão
. - Dado: um polinômio em
de grau , com termos e .
Vou trabalhar o problema fatorando passo a passo até obter fatores de grau menor; sempre que usar uma fórmula ou substituição vou explicar o porquê.
Passo 2
Escolha do método (por que usar diferença de quadrados).
- A expressão tem a forma
com e . - Note que
e . Portanto é uma diferença de quadrados no formato . - Fórmula útil (e básica):
. Vou aplicar essa fórmula primeiro.
Passo 3
Aplicando a diferença de quadrados uma vez.
- Tomando
e na fórmula , obtém-se:
- Já reduziu o grau máximo de 8 para fatores de grau 4 — bom progresso.
Passo 4
Fatorando o fator
(outra vez diferença de quadrados).
- Repare que
e . Então também é diferença de quadrados:
- Aqui usei novamente
com e .
Passo 5
Fatorando o outro fator
. (Não é diferença de quadrados, é soma de quadrados.)
-
não é imediatamente uma diferença de quadrados, mas pode fatorar como produto de dois quadráticos com termos simétricos. - Procuro uma fatoração do tipo
- Expando o produto:
- Para que isso seja igual a
preciso que
- Da segunda equação
tomo (escolho o sinal positivo para obter os coeficientes mostrados abaixo). - Da primeira equação
vem , logo . - Assim
- Observação: esses dois quadráticos têm discriminante negativo (logo não têm raízes reais), então são irreduzíveis sobre
em fatores lineares (mas são quadráticos reais).
Passo 6
Juntando os fatores obtidos até agora.
- Reunindo as fatorações dos passos anteriores:
Passo 7
Se desejar, fatorar mais um passo
em fatores lineares reais.
- Note que
é novamente diferença de quadrados porque . Assim:
- O fator
não se reduz a fatores lineares reais (pois teria , sem solução real), então fica como quadrático irreduzível real.
Passo 8
Resumo das possíveis formas finais (dependendo do “grau” de fatoração que se quer).
- Fatoração com coeficientes racionais (parada natural sobre
):
- Fatoração em fatores quadráticos/lineares com coeficientes reais (mais refinada):
- Uma forma intermediária (quadráticos com radicais) que já demos no passo 6: