Fatore as expressões.
.
Passo 1
O enunciado pede: "Fatore a expressão
".
Informações dadas: a expressão é o polinômio do 1.º grau . Não há nenhuma outra condição ou contexto fornecido (por exemplo, que
seja um quadrado perfeito ou que se deva trabalhar em algum corpo especial).
Informações dadas: a expressão é o polinômio do 1.º grau
Passo 2
O que significa “fatorar”? Fatorar um polinômio é escrevê‑lo como produto de polinômios de grau menor, preferencialmente com coeficientes inteiros ou racionais. Exemplos de métodos básicos de fatoração que costumamos tentar primeiro:
- Fator comum (retirar o máximo divisor comum dos termos).
- Diferença de quadrados:
. - Trinômio quadrado perfeito e fatoração de quadráticos.
- Agrupamento (quando há 4 termos etc.).
Vou testar os métodos mais simples para ver se algum se aplica ao caso
.
Passo 3
Testar fator comum: procurar um fator comum aos termos
e
.
Os coeficientes são (de
) e
. O maior divisor comum é
. Portanto não há um fator inteiro não‑trivial que possa ser retirado. Logo, não se pode fatorar por fator comum não‑trivial.
Os coeficientes são
Passo 4
Testar diferença de quadrados: essa técnica exige termos na forma
. Aqui temos
. Para aplicar diretamente precisaríamos que o primeiro termo fosse um quadrado perfeito, ou seja algo como
ou
. Como o termo é apenas
(grau
), não está na forma
. Portanto não é corretamente aplicável a menos que se faça uma substituição de variável (por exemplo, se fosse dado que
, aí
). Mas essa hipótese extra não foi dada no enunciado, então não podemos usá‑la.
Passo 5
Observação sobre grau: um polinômio de grau
(linear) já está na forma mais simples de produto de polinômios com coeficientes racionais — o único fator não trivial possível é um escalar multiplicando o próprio polinômio. Em termos algébricos sobre os racionais (ou inteiros), um polinômio linear não se decompõe em fatores polinomiais de grau positivo menores que
.
Passo 6
Conclusão prática para a prova: não existe fatoração não trivial de
sobre os inteiros ou racionais; a expressão já está fatorada (é um polinômio linear). A única “fatoração” possível no sentido trivial é extrair o fator unitário:
.
Se o enunciado tivesse sido , aí sim aplicaríamos diferença de quadrados e obteríamos
. Isso é um ponto comum de confusão — confira se o enunciado não deveria ser
.
Se o enunciado tivesse sido