Fatore as expressões:
Passo 1
O que o enunciado pede: fatorar a expressão
.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- Trata-se de um polinômio do segundo grau em
. - Coeficientes:
, e .
Passo 2
Ideia básica que vamos usar (explicação didática):
- Um trinômio do tipo
é um “quadrado perfeito” quando pode ser escrito como para alguns . - Critério rápido para reconhecer um quadrado perfeito: se
e são expressões simples e o termo do meio coincide com (com o sinal apropriado), então é quadrado perfeito. - Outra via (mais geral): calcular o discriminante
. Se , o polinômio tem raiz dupla e pode ser escrito como , onde .
Passo 3
Aplicando o critério de quadrado perfeito:
- Calcular as raízes quadradas dos termos quadrático e constante (em sentido algébrico):
e . - Calcular
. - O termo do meio do polinômio é
, que coincide com , ou seja, com o negativo de . - Conclusão: os três termos obedecem exatamente à forma de um quadrado perfeito com sinal negativo no termo linear, portanto o polinômio é um quadrado perfeito.
Passo 4
Verificação alternativa (pela fórmula do discriminante) — isso reforça a conclusão:
- Calcular
.
- Como
, existe uma raiz real dupla dada por .
- Para
vale a forma , com e . Isso confirma que o polinômio é um quadrado perfeito.
Passo 5
Interpretação final e dica prática para a prova:
- Pelo passo 3 já dá para reconhecer rapidamente na prova: veja se
e são quadrados perfeitos (aqui e ) e checar se o termo do meio é ou . Isso evita cálculo longo. - A verificação com o discriminante é útil quando não fica óbvio à primeira vista;
sinaliza raiz dupla e fatoração em quadrado perfeito.