Fatore as expressões:
25 x^{2}-20 x+4

Passo 1

O que o enunciado pede: fatorar a expressão 25 x^{2}-20 x+4.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • Trata-se de um polinômio do segundo grau em x.
  • Coeficientes: a=25, b=-20 e c=4.

Passo 2

Ideia básica que vamos usar (explicação didática):
  • Um trinômio do tipo a x^{2}+b x+c é um “quadrado perfeito” quando pode ser escrito como (\alpha x+\beta)^{2} para alguns \alpha,\beta.
  • Critério rápido para reconhecer um quadrado perfeito: se \sqrt{a} e \sqrt{c} são expressões simples e o termo do meio b coincide com 2\cdot(\sqrt{a})\cdot(\pm\sqrt{c}) (com o sinal apropriado), então é quadrado perfeito.
  • Outra via (mais geral): calcular o discriminante \Delta=b^{2}-4ac. Se \Delta=0, o polinômio tem raiz dupla e pode ser escrito como a\big(x-r\big)^{2}, onde r=-\dfrac{b}{2a}.

Passo 3

Aplicando o critério de quadrado perfeito:
  • Calcular as raízes quadradas dos termos quadrático e constante (em sentido algébrico):
    \sqrt{25 x^{2}}=5x e \sqrt{4}=2.
  • Calcular 2\cdot(5x)\cdot 2 = 20x.
  • O termo do meio do polinômio é b=-20x, que coincide com -\,20x, ou seja, com o negativo de 2\cdot(5x)\cdot 2.
  • Conclusão: os três termos obedecem exatamente à forma de um quadrado perfeito com sinal negativo no termo linear, portanto o polinômio é um quadrado perfeito.

Passo 4

Verificação alternativa (pela fórmula do discriminante) — isso reforça a conclusão:
  • Calcular \Delta=b^{2}-4ac.
\Delta = (-20)^{2}-4\cdot25\cdot4 = 400-400 = 0.
  • Como \Delta=0, existe uma raiz real dupla r dada por r=-\dfrac{b}{2a}.
r = -\dfrac{-20}{2\cdot25} = \dfrac{20}{50} = \dfrac{2}{5}.
  • Para \Delta=0 vale a forma a\big(x-r\big)^{2}, com a=25 e r=\dfrac{2}{5}. Isso confirma que o polinômio é um quadrado perfeito.

Passo 5

Interpretação final e dica prática para a prova:
  • Pelo passo 3 já dá para reconhecer rapidamente na prova: veja se a e c são quadrados perfeitos (aqui 25 e 4) e checar se o termo do meio é +2\sqrt{a}\sqrt{c} ou -2\sqrt{a}\sqrt{c}. Isso evita cálculo longo.
  • A verificação com o discriminante é útil quando não fica óbvio à primeira vista; \Delta=0 sinaliza raiz dupla e fatoração em quadrado perfeito.

Resposta

(5x-2)^{2}

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