Calcule:
\left.\left.\left.2^{2^{3}} l\right)\left(2^{2}\right)^{3} m\right) 12^{-2} n\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}

Passo 1

Vamos escrever claramente o que o enunciado pede. A expressão a ser calculada (interpreto como produto dos fatores listados) é
\left(2^{2^{3}}\right)\left(2^{2}\right)^{3}12^{-2}\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}.
O objetivo é simplificar esse produto e obter um único número inteiro ou fração. As informações dadas são exatamente os fatores acima.

Passo 2

Entender a ordem em 2^{2^{3}}. A exponenciação é associativa à direita, portanto
2^{2^{3}}=2^{(2^{3})}.
Calculemos primeiro o expoente interno:
2^{3}=8,
logo
2^{2^{3}}=2^{8}.

Passo 3

Calcule 2^{8}. É útil lembrar potências de 2:
2^{1}=2,\;2^{2}=4,\;2^{3}=8,\;2^{4}=16,\;2^{5}=32,\;2^{6}=64,\;2^{7}=128,\;2^{8}=256.
Portanto
2^{2^{3}}=256.

Passo 4

Simplificar \left(2^{2}\right)^{3} usando a regra da potência de potência: (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}. Assim
\left(2^{2}\right)^{3}=2^{2\cdot3}=2^{6}.
Calcule 2^{6}:
2^{6}=64.

Passo 5

Tratar 12^{-2}. Regra de expoente negativo: a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}. Então
12^{-2}=\frac{1}{12^{2}}=\frac{1}{144}.

Passo 6

Tratar \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-3}. Pelo expoente negativo e propriedade do inverso:
\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}=\left(\frac{3}{2}\right)^{3}.
Calcule \left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}:
\left(\frac{3}{2}\right)^{3}=\frac{3^{3}}{2^{3}}=\frac{27}{8}.

Passo 7

Juntar tudo: substituindo os resultados obtidos, a expressão vira
256\cdot 64\cdot \frac{1}{144}\cdot \frac{27}{8}.

Passo 8

Fazer simplificações antes de multiplicar tudo para evitar números grandes. Primeiro cancele um fator 8 entre 256 e o denominador 8:
\frac{256}{8}=32,
então a expressão fica
32\cdot 64\cdot \frac{1}{144}\cdot 27.

Passo 9

Agora simplifique 64 com 144. Observe que 144=16\cdot9 e 64=16\cdot4. Dividindo ambos por 16:
\frac{64}{144}=\frac{4}{9}.
Substituindo na expressão:
32\cdot \frac{4}{9}\cdot 27.

Passo 10

Simplificar \dfrac{27}{9}=3. Assim
32\cdot 4\cdot 3.

Passo 11

Calcular o produto final passo a passo:
32\cdot 4=128,
128\cdot 3=384.

Resposta

384

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