Fatore as expressões abaixo.
5 x^{2}-20 x+20

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão 5x^{2}-20x+20.
Informações dadas (coeficientes): o termo quadrático tem coeficiente 5, o termo linear tem coeficiente -20 e o termo constante é 20.

Passo 2

Procurar um fator comum nos três termos. Para achar o maior fator comum entre 5, -20 e 20 observa-se que todos são divisíveis por 5. Logo, podemos fatorar 5 em evidência:
5x^{2}-20x+20=5\bigl(x^{2}-4x+4\bigr).
Explicação rápida: fatorar em evidência significa escrever cada termo como produto do fator comum por outro termo. Aqui 5x^{2}=5\cdot x^{2}, -20x=5\cdot(-4x), 20=5\cdot4.

Passo 3

Agora analisar o trinômio dentro do parêntese: \;x^{2}-4x+4\;. Há duas formas simples de reconhecer se isso é um quadrado perfeito:
  • Usando a fórmula de quadrado da diferença:
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Comparando com x^{2}-4x+4, podemos identificar a=x. Então precisamos que -2ab=-4x, isto é -2\cdot x\cdot b=-4x. Isso dá b=2. Verificando b^{2}=2^{2}=4, que coincide com o termo constante. Portanto
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
  • (Alternativa/cheque) Completando o quadrado: tomar x^{2}-4x e acrescentar e subtrair \left(\dfrac{-4}{2}\right)^{2}=4, obtendo x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}. Mesmo resultado.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão com o 5 em evidência:
5\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)=5\bigl(x-2\bigr)^{2}.

Passo 5

Verificação rápida (expandir para conferir): expandindo 5(x-2)^{2} obtém-se
5(x^{2}-4x+4)=5x^{2}-20x+20,
que é exatamente o polinômio inicial. Portanto a fatoração está correta.

Resposta

5(x-2)^{2}

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