Fatore as expressões abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para fatorar a expressão polinomial
Informações dadas e objetivo:
- Temos um polinômio de quarto grau com termos:
, , , . - Objetivo: escrever esse polinômio como produto de fatores mais simples (preferencialmente com coeficientes inteiros, se possível).
Passo 2
Ideia útil: tentativa de fatoração por agrupamento. Vou explicar o que é isso devagarinho. A propriedade distributiva diz que, para quaisquer números ou expressões
,
Na fatoração por agrupamento, agrupamos termos do polinômio em pares que tenham um fator comum, e então usamos a distributiva para “puxar” esse fator comum.
Vou agrupar os dois primeiros termos e os dois últimos termos:
Passo 3
Agora fatoro o fator comum em cada par:
- No par
o fator comum é , porque e . Então
- No par
o fator comum é (ou , escolhendo o sinal depois). Fatorando obtemos
Substituindo essas fatorações na expressão original:
Passo 4
Agora há um fator comum
em ambos os termos. Uso a distributiva “ao contrário” (fator comum):
Isso já é uma fatoração correta. Para checar, posso expandir para confirmar:
que é exatamente o polinômio inicial. Então a fatoração está correta.
Passo 5
Verificação se dá para fatorar mais
com coeficientes racionais (ou inteiros): pelo Teorema das Raízes Racionais, candidatos para raízes racionais de
são divisores de
, isto é
. Testando:
e os negativos dão valores não nulos também. Logo não há raiz racional, portanto
é irredutível sobre os racionais.
Se for útil saber como fatorar sobre os reais usando radicais, existe a identidade de diferença de cubos: para
,
Tomando
e
, obtém-se a fatoração sobre os reais:
Mas essa última fatoração usa números irracionais. Para a forma com coeficientes inteiros (que normalmente se espera em exercícios de fatoração), a melhor resposta é a que já encontramos.