Fatore as expressões abaixo.
x^{4}+9 x^{3}-6 x-54

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão polinomial
x^{4}+9x^{3}-6x-54.
Informações dadas e objetivo:
  • Temos um polinômio de quarto grau com termos: x^{4}, 9x^{3}, -6x, -54.
  • Objetivo: escrever esse polinômio como produto de fatores mais simples (preferencialmente com coeficientes inteiros, se possível).

Passo 2

Ideia útil: tentativa de fatoração por agrupamento. Vou explicar o que é isso devagarinho. A propriedade distributiva diz que, para quaisquer números ou expressões a,b,c,
ab+ac = a(b+c).
Na fatoração por agrupamento, agrupamos termos do polinômio em pares que tenham um fator comum, e então usamos a distributiva para “puxar” esse fator comum.
Vou agrupar os dois primeiros termos e os dois últimos termos:
x^{4}+9x^{3}-6x-54 = (x^{4}+9x^{3}) + (-6x-54).

Passo 3

Agora fatoro o fator comum em cada par:
  • No par x^{4}+9x^{3} o fator comum é x^{3}, porque x^{4}=x^{3}\cdot x e 9x^{3}=x^{3}\cdot 9. Então
x^{4}+9x^{3} = x^{3}(x+9).
  • No par -6x-54 o fator comum é -6 (ou 6, escolhendo o sinal depois). Fatorando -6 obtemos
-6x-54 = -6(x+9).
Substituindo essas fatorações na expressão original:
x^{4}+9x^{3}-6x-54 = x^{3}(x+9) -6(x+9).

Passo 4

Agora há um fator comum (x+9) em ambos os termos. Uso a distributiva “ao contrário” (fator comum):
x^{3}(x+9) -6(x+9) = (x+9)\bigl(x^{3}-6\bigr).
Isso já é uma fatoração correta. Para checar, posso expandir para confirmar:
(x+9)(x^{3}-6) = x\cdot x^{3} -6x +9\cdot x^{3} -54 = x^{4}+9x^{3}-6x-54,
que é exatamente o polinômio inicial. Então a fatoração está correta.

Passo 5

Verificação se dá para fatorar mais \,x^{3}-6 com coeficientes racionais (ou inteiros): pelo Teorema das Raízes Racionais, candidatos para raízes racionais de x^{3}-6 são divisores de 6, isto é \pm1,\pm2,\pm3,\pm6. Testando:
1^{3}-6=-5,\quad 2^{3}-6=2,\quad 3^{3}-6=21,\quad 6^{3}-6=210,
e os negativos dão valores não nulos também. Logo não há raiz racional, portanto x^{3}-6 é irredutível sobre os racionais.
Se for útil saber como fatorar sobre os reais usando radicais, existe a identidade de diferença de cubos: para a^{3}-b^{3},
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Tomando a=x e b=\sqrt[3]{6}, obtém-se a fatoração sobre os reais:
x^{3}-6 = \bigl(x-\sqrt[3]{6}\bigr)\!\left(x^{2}+ \sqrt[3]{6}\,x + \bigl(\sqrt[3]{6}\bigr)^{2}\right).
Mas essa última fatoração usa números irracionais. Para a forma com coeficientes inteiros (que normalmente se espera em exercícios de fatoração), a melhor resposta é a que já encontramos.

Resposta

(x+9)\bigl(x^{3}-6\bigr)

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