Fatore as expressões abaixo.
\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{9}

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser fatorada:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{9}.
A tarefa é escrever essa expressão como um produto de fatores (fatoração).

Passo 2

Um fato útil que sempre uso aqui é a identidade da diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Explicando com calma: a e b são quaisquer expressões (podem ser números, variáveis ou frações). Se você tem a diferença entre o quadrado de a e o quadrado de b, então ela se fatoriza subtraindo b de a e somando b a a, e multiplicando esses dois resultados.

Passo 3

Reconhecer a sua expressão como uma diferença de quadrados: note que
\frac{x^{2}}{4}=\left(\frac{x}{2}\right)^{2} \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{9}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}.
Ou seja, sua expressão é da forma a^{2}-b^{2} com
a=\frac{x}{2},\qquad b=\frac{1}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da diferença de quadrados com esses a e b:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{9} =\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\right).

Passo 5

Verificação rápida (opcional): fazendo o produto para confirmar,
\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\right) =\left(\frac{x}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{3}\right)^{2} =\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{9},
que é exatamente a expressão inicial. Outra forma equivalente, com coeficientes inteiros, é
\frac{(3x-2)(3x+2)}{36},
pois multiplicando numerador e denominador por 36 obtém-se 9x^{2}-4=(3x-2)(3x+2).

Resposta

\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{3}\right)

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