Fatore as expressões.
Passo 1
O enunciado pede: fatorar a expressão
Informações dadas: o polinômio é um trinômio quadrático de coeficientes constantes. A tarefa é escrever esse polinômio como produto de fatores (preferencialmente fatores lineares).
Passo 2
Vou explicar duas ideias úteis para fatorar quadráticos e qual vou usar aqui.
- Fórmula do discriminante: para um quadrático
, define-se o discriminante
Se
há duas raízes reais distintas; se
há uma raiz real dupla (o polinômio é um quadrado perfeito); se
não há raízes reais. As raízes são dadas por
Aqui
são os coeficientes do polinômio:
é o coeficiente de
,
o coeficiente de
e
o termo constante.
- Identidade de quadrado perfeito: um trinômio da forma
é um quadrado perfeito. Se o nosso trinômio se encaixa nessa forma com algum
real, então ele fatoriza como
.
Vou aplicar essas ideias: calcular o discriminante para ver se é quadrado perfeito (caso
), e em seguida obter a raiz e escrever a fatoração. Esse método é simples e direto para polinômios com coeficientes como os do enunciado.
Passo 3
Identifico os coeficientes do polinômio comparando com
:
Passo 4
Calculo o discriminante:
Agora calculo cada parte:
. Então
Interpretação:
significa que o polinômio tem uma raiz real dupla — isto é, é um quadrado perfeito e pode ser escrito como
para algum
.
Passo 5
Encontro a raiz (única, com multiplicidade 2) usando a fórmula das raízes:
Logo a raiz dupla é
. Isso indica que a fatoração é
.
Passo 6
Verificação expandindo o fator encontrado para confirmar:
que coincide com o polinômio dado. Portanto a fatoração está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova: sempre que o termo constante for um quadrado perfeito e o coeficiente de
for
vezes a raiz desse quadrado, reconheça imediatamente a forma
. Exemplo rápido:
.