Fatore as expressões.
x^{2}-2 \sqrt{3} x+3

Passo 1

O enunciado pede: fatorar a expressão
x^{2}-2\sqrt{3}\,x+3.
Informações dadas: o polinômio é um trinômio quadrático de coeficientes constantes. A tarefa é escrever esse polinômio como produto de fatores (preferencialmente fatores lineares).

Passo 2

Vou explicar duas ideias úteis para fatorar quadráticos e qual vou usar aqui.
  • Fórmula do discriminante: para um quadrático \,ax^{2}+bx+c, define-se o discriminante
\Delta=b^{2}-4ac.
Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz real dupla (o polinômio é um quadrado perfeito); se \Delta<0 não há raízes reais. As raízes são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Aqui a,b,c são os coeficientes do polinômio: a é o coeficiente de x^{2}, b o coeficiente de x e c o termo constante.
  • Identidade de quadrado perfeito: um trinômio da forma
(x-r)^{2}=x^{2}-2r x + r^{2}
é um quadrado perfeito. Se o nosso trinômio se encaixa nessa forma com algum r real, então ele fatoriza como (x-r)^{2}.
Vou aplicar essas ideias: calcular o discriminante para ver se é quadrado perfeito (caso \Delta=0), e em seguida obter a raiz e escrever a fatoração. Esse método é simples e direto para polinômios com coeficientes como os do enunciado.

Passo 3

Identifico os coeficientes do polinômio comparando com ax^{2}+bx+c:
a=1,\qquad b=-2\sqrt{3},\qquad c=3.

Passo 4

Calculo o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-2\sqrt{3})^{2}-4\cdot1\cdot3.
Agora calculo cada parte: (-2\sqrt{3})^{2}=4\cdot3=12. Então
\Delta=12-12=0.
Interpretação: \Delta=0 significa que o polinômio tem uma raiz real dupla — isto é, é um quadrado perfeito e pode ser escrito como (x-r)^{2} para algum r.

Passo 5

Encontro a raiz (única, com multiplicidade 2) usando a fórmula das raízes:
x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2\sqrt{3})}{2\cdot1}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Logo a raiz dupla é x=\sqrt{3}. Isso indica que a fatoração é (x-\sqrt{3})^{2}.

Passo 6

Verificação expandindo o fator encontrado para confirmar:
(x-\sqrt{3})^{2}=x^{2}-2\sqrt{3}\,x+(\sqrt{3})^{2}=x^{2}-2\sqrt{3}\,x+3,
que coincide com o polinômio dado. Portanto a fatoração está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre que o termo constante for um quadrado perfeito e o coeficiente de x for -2 vezes a raiz desse quadrado, reconheça imediatamente a forma (x-r)^{2}. Exemplo rápido: x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.

Resposta

(x-\sqrt{3})^{2}

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