Fatore as expressões.
16 x^{2}+40 x y+25 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
16x^{2}+40xy+25y^{2}.
Informações dadas:
  • Temos um polinômio quadrático nas variáveis x e y.
  • A tarefa é reescrever essa expressão como um produto de fatores polinomiais (fatoração).

Passo 2

Vou testar se a expressão é um quadrado perfeito. Lembre-se da identidade fundamental de quadrado da soma:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},
onde a e b são quaisquer expressões algébricas. Aqui, para reconhecer um quadrado perfeito, procuramos se os termos primeiro e terceiro são quadrados perfeitos e se o termo do meio é o dobro do produto das raízes quadradas desses termos.

Passo 3

Calcular as raízes quadradas do primeiro e do último termo:
  • \sqrt{16x^{2}}=4x, porque (4x)^{2}=16x^{2}.
  • \sqrt{25y^{2}}=5y, porque (5y)^{2}=25y^{2}.
Agora calcule duas vezes o produto dessas raízes:
2\cdot(4x)\cdot(5y)=2\cdot20xy=40xy.
Esse valor coincide exatamente com o termo do meio da expressão original ( 40xy). Portanto a expressão tem a forma a^{2}+2ab+b^{2} com a=4x e b=5y.

Passo 4

Aplicando a identidade do quadrado da soma com a=4x e b=5y, obtemos diretamente:
16x^{2}+40xy+25y^{2}=(4x+5y)^{2}.

Passo 5

(Verificação alternativa rápida usando a visão como quadrática em x.) Considere a expressão como 16x^{2}+(40y)x+25y^{2}. Aqui a=16, b=40y, c=25y^{2}. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=(40y)^{2}-4\cdot16\cdot25y^{2}=1600y^{2}-1600y^{2}=0,
logo tem raiz dupla \displaystyle x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40y}{32}=-\frac{5}{4}y. Assim a expressão se escreve como
16\left(x+\tfrac{5}{4}y\right)^{2}=(4x+5y)^{2},
confirmando o resultado anterior.

Passo 6

Dica para a prova (rápida e prática): ao ver Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}, cheque se \sqrt{A}x e \sqrt{C}y existem como termos racionais e se 2\sqrt{A}\sqrt{C}=B. Se sim, é quadrado perfeito e a fatoração é (\sqrt{A}x+\sqrt{C}y)^{2}. Isso economiza tempo.

Resposta

(4x+5y)^{2}

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