Fatore as expressões.
Passo 1
O enunciado pede para fatorar a expressão
Informações dadas:
- Temos um polinômio quadrático nas variáveis
e . - A tarefa é reescrever essa expressão como um produto de fatores polinomiais (fatoração).
Passo 2
Vou testar se a expressão é um quadrado perfeito. Lembre-se da identidade fundamental de quadrado da soma:
onde
e
são quaisquer expressões algébricas. Aqui, para reconhecer um quadrado perfeito, procuramos se os termos primeiro e terceiro são quadrados perfeitos e se o termo do meio é o dobro do produto das raízes quadradas desses termos.
Passo 3
Calcular as raízes quadradas do primeiro e do último termo:
-
, porque . -
, porque .
Agora calcule duas vezes o produto dessas raízes:
Esse valor coincide exatamente com o termo do meio da expressão original (
). Portanto a expressão tem a forma
com
e
.
Passo 4
Aplicando a identidade do quadrado da soma com
e
, obtemos diretamente:
Passo 5
(Verificação alternativa rápida usando a visão como quadrática em
.) Considere a expressão como
. Aqui
,
,
. O discriminante é
logo tem raiz dupla
. Assim a expressão se escreve como
confirmando o resultado anterior.
Passo 6
Dica para a prova (rápida e prática): ao ver
, cheque se
e
existem como termos racionais e se
. Se sim, é quadrado perfeito e a fatoração é
. Isso economiza tempo.