Fatore as expressões.
x^{2} y^{2}-2 x y+1

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão \,x^{2}y^{2}-2xy+1\,.
Informações dadas:
  • A expressão é um polinômio em x e y.
  • Queremos escrever essa expressão como produto de fatores mais simples (fatoração).

Passo 2

Observação útil (substituição): todos os termos dependem de x e y apenas pela combinação xy. Então é natural fazer a substituição
u = xy,
para transformar a expressão em uma forma mais simples em u.

Passo 3

Com u = xy a expressão fica
u^{2} - 2u + 1.
Isto é um polinômio quadrático em u, do tipo \,u^{2}+(\text{coeficiente})u+(\text{constante})\,.

Passo 4

Reconhecer padrão: o trinômio \,u^{2}-2u+1\, é um quadrado perfeito. A fórmula geral é
(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}.
Tomando a=u e b=1 obtemos
(u-1)^{2} = u^{2}-2u+1,
que coincide exatamente com o nosso polinômio em u.

Passo 5

Voltar à variável original substituindo u=xy. Assim
x^{2}y^{2}-2xy+1 = (xy-1)^{2}.
Podemos também escrever como produto de fatores iguais:
(xy-1)(xy-1).

Resposta

(xy-1)^{2}

Exercícios relacionados