e pede para fatorá‑la por decomposição LU com pivoteamento parcial, exibindo as matrizes P, L e U da decomposição. Ou seja, queremos matrizes P, L e U tais que
P\,A = L\,U,
onde P é uma matriz de permutação (troca de linhas), L é triangular inferior com diagonais iguais a 1 e U é triangular superior. \n
As informações relevantes: a matriz A está completamente dada (3×3) e devemos aplicar eliminação gaussiana com pivoteamento parcial quando necessário. Não há outra informação extra no enunciado.]
Passo 2
Breve explicação do método (didática rápida):\n
A eliminação gaussiana transforma A em uma matriz triangular superior U usando operações do tipo: substituir uma linha por ela menos um múltiplo de outra linha. Esses múltiplos (os “multiplicadores”) formam as entradas abaixo da diagonal em L. \n
Com pivoteamento parcial, em cada etapa escolhemos, na coluna corrente, a linha com o maior valor absoluto (entre as ainda não eliminadas) e, se necessário, trocamos linhas — isso é registrado pela matriz P. \n
A fórmula do multiplicador usado para eliminar o elemento a_{ij} (com i>j) é
l_{ij}=\frac{a_{ij}}{a_{jj}},
onde a_{jj} é o pivô (elemento da diagonal atualmente). Depois se faz \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - l_{ij}\,\text{linha}_j. \n
Vou aplicar isso passo a passo na matriz dada. Escolhi esse método porque o enunciado pede LU com pivoteamento parcial; é o procedimento padrão.
Passo 3
Primeira etapa (coluna 1): identificar pivô e multiplicadores. \n
Na coluna 1 os valores absolutos são |4|,\;|{-1}|,\;|2| e o maior é |4| (linha 1). Não há troca de linhas, então a primeira coluna de P permanece correspondente à identidade. \n
Calculamos os multiplicadores para zerar abaixo do pivô a_{11}=4:
E já registramos em L os multiplicadores l_{21}=-\tfrac{1}{4} e l_{31}=\tfrac{1}{2} na primeira coluna abaixo da diagonal.]
Passo 4
Segunda etapa (coluna 2): escolher pivô entre as linhas 2 e 3 (ainda não eliminadas). \n
Na coluna 2 os valores (das linhas 2 e 3 da matriz atual) têm módulos \left|\tfrac{23}{4}\right|=\tfrac{23}{4} e \left|-\tfrac{1}{2}\right|=\tfrac{1}{2}. O maior é \tfrac{23}{4} (linha 2), então não há troca de linhas novamente. Assim P continua sendo a identidade. \n
Calculamos o multiplicador para eliminar a entrada em posição (3,2):
Os multiplicadores colocados em L são l_{21}=-\tfrac{1}{4}, l_{31}=\tfrac{1}{2} e l_{32}=-\tfrac{2}{23}.]
Passo 5
Montagem das matrizes P, L e U finais e pequena observação de verificação. \n
Como não houve trocas de linhas ao longo da eliminação, a matriz de permutação é a identidade:
Verificação rápida (que você pode fazer na prova, se sobrar tempo): multiplicando L por U você deve obter A (ou seja, I\cdot A = L\,U aqui). Isso confirma a fatoração correta. \n
Força aí — você já tem os passos organizados para refazer isso na prova sem pânico!]