e pede que a gente use o método de Gauss–Seidel com 3 iterações para obter uma solução aproximada e calcular a precisão obtida.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O enunciado não fornece um chute inicial; vou usar o chute padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0). Serão executadas exatamente 3 iterações de Gauss–Seidel (ou seja, calcular x_1, depois x_2 usando o novo x_1, depois x_3 usando os novos x_1,x_2; e repetir isso 3 vezes).]
Passo 2
Explicação e fórmula do método de Gauss–Seidel (passo-a-passo didático): para cada iteração k resolvemos cada equação para a incógnita correspondente usando, sempre que possível, os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. Assim isolamos cada variável das equações:
Aqui cada fórmula dá a nova componente em função das componentes restantes; em Gauss–Seidel usamos as componentes já atualizadas quando disponíveis (por isso o método costuma convergir mais rápido que Jacobi). Antes de iterar é bom verificar se a matriz é estritamente diagonalmente dominante (isso garante convergência): para cada linha checamos |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|:
Interpretação: isso significa que, substituindo \mathbf{x}^{(3)} no lado esquerdo do sistema, a máxima diferença absoluta em relação ao lado direito \mathbf{b} é aproximadamente 0{,}3087506.]
Passo 7
Outra medida útil é a diferença entre a última e a penúltima iteração (uma indicação de quanto a solução está se modificando):
Isso mostra que entre a iteração 2 e 3 houve uma alteração máxima de cerca de 0{,}09036 numa componente; portanto ainda não está superconvergido — mais iterações reduzirão essa diferença e o resíduo.]