Considere o sistema
\left\{\begin{array}{rrl}7 x_{1}+x_{2}+2 x_{3} & =9 \\\ 2 x_{1}-11 x_{2}+6 x_{3} & =-3 \\\ -x_{1}-4 x_{2}-7 x_{3} & =1\end{array}\right.
Utilize o método de Gauss-Seidel com 3 iterações para encontrar uma solução aproximada e calcule a precisão obtida.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{rrl} 7x_{1}+x_{2}+2x_{3} & = & 9,\\[4pt] 2x_{1}-11x_{2}+6x_{3} & = & -3,\\[4pt] - x_{1}-4x_{2}-7x_{3} & = & 1, \end{array}\right.
e pede que a gente use o método de Gauss–Seidel com 3 iterações para obter uma solução aproximada e calcular a precisão obtida.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A=\begin{pmatrix}7 & 1 & 2\\[2pt]2 & -11 & 6\\[2pt]-1 & -4 & -7\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}9\\[2pt]-3\\[2pt]1\end{pmatrix}.
O enunciado não fornece um chute inicial; vou usar o chute padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0). Serão executadas exatamente 3 iterações de Gauss–Seidel (ou seja, calcular x_1, depois x_2 usando o novo x_1, depois x_3 usando os novos x_1,x_2; e repetir isso 3 vezes).]

Passo 2

Explicação e fórmula do método de Gauss–Seidel (passo-a-passo didático): para cada iteração k resolvemos cada equação para a incógnita correspondente usando, sempre que possível, os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. Assim isolamos cada variável das equações:
\begin{aligned} 7x_{1}+x_{2}+2x_{3}&=9 &\Longrightarrow&\quad x_{1}=\frac{9-x_{2}-2x_{3}}{7},\\[6pt] 2x_{1}-11x_{2}+6x_{3}&=-3 &\Longrightarrow&\quad x_{2}=\frac{3+2x_{1}+6x_{3}}{11},\\[6pt] - x_{1}-4x_{2}-7x_{3}&=1 &\Longrightarrow&\quad x_{3}=-\frac{1+x_{1}+4x_{2}}{7}. \end{aligned}
Aqui cada fórmula dá a nova componente em função das componentes restantes; em Gauss–Seidel usamos as componentes já atualizadas quando disponíveis (por isso o método costuma convergir mais rápido que Jacobi). Antes de iterar é bom verificar se a matriz é estritamente diagonalmente dominante (isso garante convergência): para cada linha checamos |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|:
|7|>|1|+|2| \\ (7>3),\qquad |-11|>|2|+|6|\\ (11>8),\qquad |-7|>|1|+|4|\\ (7>5).
Portanto a matriz é estritamente diagonalmente dominante e o método convergirá.]

Passo 3

Iteração 1 (partindo de \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)).
Usamos as fórmulas e os valores mais recentes:
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\frac{9-x_{2}^{(0)}-2x_{3}^{(0)}}{7}=\frac{9-0-0}{7}=\frac{9}{7}=1{,}285714\ldots,\\[6pt] x_{2}^{(1)}&=\frac{3+2x_{1}^{(1)}+6x_{3}^{(0)}}{11} =\frac{3+2\cdot\frac{9}{7}+0}{11} =\frac{39}{77}\approx0{,}506493,\\[6pt] x_{3}^{(1)}&=-\frac{1+x_{1}^{(1)}+4x_{2}^{(1)}}{7} =-\frac{1+\frac{9}{7}+4\cdot\frac{39}{77}}{7} =-\frac{332}{539}\approx-0{,}615955. \end{aligned}
Resumo da iteração 1:
\mathbf{x}^{(1)}\approx\begin{pmatrix}1{,}285714\\[2pt]0{,}506493\\[2pt]-0{,}615955\end{pmatrix}.]

Passo 4

Iteração 2. Agora usamos \mathbf{x}^{(1)} e aplicamos as fórmulas (usando sempre os valores já atualizados dentro da mesma iteração):
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=\frac{9-x_{2}^{(1)}-2x_{3}^{(1)}}{7} =\frac{9-0{,}506493-2(-0{,}615955)}{7} =\frac{9{,}725417}{7}\approx1{,}389345,\\[6pt] x_{2}^{(2)}&=\frac{3+2x_{1}^{(2)}+6x_{3}^{(1)}}{11} =\frac{3+2\cdot1{,}389345+6(-0{,}615955)}{11} \approx0{,}189361,\\[6pt] x_{3}^{(2)}&=-\frac{1+x_{1}^{(2)}+4x_{2}^{(2)}}{7} =-\frac{1+1{,}389345+4\cdot0{,}189361}{7} \approx-0{,}449541. \end{aligned}
Resumo da iteração 2:
\mathbf{x}^{(2)}\approx\begin{pmatrix}1{,}389345\\[2pt]0{,}189361\\[2pt]-0{,}449541\end{pmatrix}.]

Passo 5

Iteração 3. Repetimos o mesmo procedimento com \mathbf{x}^{(2)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=\frac{9-x_{2}^{(2)}-2x_{3}^{(2)}}{7} =\frac{9-0{,}189360746-2(-0{,}449541183)}{7} \approx1{,}387103,\\[6pt] x_{2}^{(3)}&=\frac{3+2x_{1}^{(3)}+6x_{3}^{(2)}}{11} =\frac{3+2\cdot1{,}387103+6(-0{,}449541)}{11} \approx0{,}279724,\\[6pt] x_{3}^{(3)}&=-\frac{1+x_{1}^{(3)}+4x_{2}^{(3)}}{7} =-\frac{1+1{,}387103+4\cdot0{,}279724}{7} \approx-0{,}5009996. \end{aligned}
Resumo da iteração 3 (resultado pedido):
\mathbf{x}^{(3)}\approx\begin{pmatrix}1{,}387103\\[2pt]0{,}279724\\[2pt]-0{,}5009996\end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo do resíduo (para medir a precisão): o resíduo é \mathbf{r}=\mathbf{b}-A\mathbf{x}^{(3)}. Calculamos componente a componente:
\begin{aligned} r_{1}&=9-(7x_{1}^{(3)}+x_{2}^{(3)}+2x_{3}^{(3)}) \approx9-(7\cdot1{,}387103+0{,}279724+2\cdot(-0{,}5009996))\\\ &\approx0{,}0125541,\\[6pt] r_{2}&=-3-(2x_{1}^{(3)}-11x_{2}^{(3)}+6x_{3}^{(3)}) \approx-3-(2\cdot1{,}387103-11\cdot0{,}279724+6\cdot(-0{,}5009996))\\\ &\approx0{,}3087506,\\[6pt] r_{3}&=1-(-x_{1}^{(3)}-4x_{2}^{(3)}-7x_{3}^{(3)}) \approx1-(-1{,}387103-4\cdot0{,}279724-7\cdot(-0{,}5009996))\\\ &\approx-0{,}0010000. \end{aligned}
Como medida de precisão uso a norma infinito do resíduo:
\|\mathbf{r}\|_{\infty}=\max(|r_{1}|,|r_{2}|,|r_{3}|)\approx0{,}3087506.
Interpretação: isso significa que, substituindo \mathbf{x}^{(3)} no lado esquerdo do sistema, a máxima diferença absoluta em relação ao lado direito \mathbf{b} é aproximadamente 0{,}3087506.]

Passo 7

Outra medida útil é a diferença entre a última e a penúltima iteração (uma indicação de quanto a solução está se modificando):
\mathbf{d}=\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\approx\begin{pmatrix}-0{,}002242\\[2pt]0{,}090363\\[2pt]-0{,}051459\end{pmatrix},
e sua norma infinito é
\|\mathbf{d}\|_{\infty}\approx0{,}090363.
Isso mostra que entre a iteração 2 e 3 houve uma alteração máxima de cerca de 0{,}09036 numa componente; portanto ainda não está superconvergido — mais iterações reduzirão essa diferença e o resíduo.]

Resposta

\mathbf{x}^{(3)}\approx\begin{pmatrix}1{,}387103\\[2pt]0{,}279724\\[2pt]-0{,}5009996\end{pmatrix}
\|\mathbf{r}\|_{\infty}\approx0{,}3087506 (norma infinito do resíduo)
\|\mathbf{x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}\|_{\infty}\approx0{,}090363 (mudança máxima entre iterações 2 e 3)]

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