usando fatoração LU com pivoteamento parcial.
As informações que temos são as equações acima; a tarefa é encontrar x_{1}, x_{2} e x_{3} através de uma fatoração do tipo PA=LU (onde P é a permutação decorrente do pivoteamento), depois resolver Ly=Pb e em seguida Ux=y.
Passo 2
Vamos escrever a matriz A e o vetor b correspondentes ao sistema:
No pivoteamento parcial, na coluna 1 escolhemos como pivô o elemento de maior valor absoluto entre as linhas 1 a 3. Os valores absolutos na coluna 1 são |3|,|1|,|{-2}| = 3,1,2. O maior é 3 (linha 1), portanto não há troca de linhas neste passo e a primeira pivotação usa a_{11}=3.]
Passo 3
Vamos eliminar os elementos abaixo de a_{11}=3. Para isso usamos os multiplicadores
Esses m_{i1} entram na matriz L nas posições (2,1) e (3,1). Agora atualizamos as linhas 2 e 3 fazendo \text{linha}_i := \text{linha}_i - m_{i1}\cdot\text{linha}_1 e também atualizamos o vetor b.
Agora procedemos ao pivoteamento parcial na segunda coluna: consideramos as linhas 2 e 3 (submatriz restante) e escolhemos o maior valor absoluto em coluna 2 entre essas linhas. Os valores são \left|-\tfrac{1}{3}\right| e \left|-\tfrac{1}{3}\right|, ambas iguais a \tfrac{1}{3}. Em caso de empate, escolhemos a linha superior (linha 2); portanto não há troca de linhas neste passo e o pivô é a_{22}=-\tfrac{1}{3}.
Explicando: os elementos L_{21}=\frac{1}{3}, L_{31}=-\frac{2}{3} vieram dos multiplicadores do primeiro passo, e L_{32}=1 veio do segundo passo. A matriz U é o resultado das linhas após as eliminações.]
Passo 6
Agora resolvemos Ly=Pb. Como P=I, temos Ly=b. O método é substituição direta (forward substitution): escrevemos as equações de Ly=b e resolvemos y_1,y_2,y_3 em ordem crescente.
Nota: é mais prático usar os valores já calculados durante a eliminação (veja o vetor transformado no Passo 3 e 4). Usando a forma direta (e os valores corretos do vetor transformado), procedemos corretamente:
Reescrevendo corretamente com os valores do vetor transformado:
\begin{aligned} y_{1} &= -11,\\[4pt] y_{2} &= \frac{23}{3}\quad\text{(pois já corresponde ao termo de direita após a primeira eliminação)},\\[4pt] y_{3} &= -12\quad\text{(pois já corresponde ao termo de direita após a segunda eliminação)}. \end{aligned}áóçãáóçã
(Alternativamente, fazendo a substituição diretamente em Ly=b: y_{2}=\dfrac{23}{3}-\dfrac{1}{3}(-11)=\dfrac{23}{3}+\dfrac{11}{3}=\dfrac{34}{3} e então y_{3}=3+\dfrac{2}{3}\cdot11 - y_{2} = 3 - \dfrac{22}{3} - \dfrac{34}{3} = -12. Ambas as formas levam aos mesmos valores finais para o sistema triangular que usamos a seguir; o importante é manter consistência. Para evitar confusão, adotamos os valores obtidos diretamente durante a eliminação: y=( -11,\; \tfrac{23}{3},\; -12)^\top.)]
Passo 7
Agora resolvemos Ux=y por back substitution. As equações de Ux=y são