Considere o sistema
\left\{\begin{array}{rrl}7 x_{1}+x_{2}+2 x_{3} & =9 \\\ 2 x_{1}-11 x_{2}+6 x_{3} & =-3 \\\ -x_{1}-4 x_{2}-7 x_{3} & =1\end{array}\right.
Utilize o método de Jacobi com 3 iterações para encontrar uma solução aproximada e calcule a precisão obtida;

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 7x_{1}+x_{2}+2x_{3}=9,\\[4pt] 2x_{1}-11x_{2}+6x_{3}=-3,\\[4pt] -x_{1}-4x_{2}-7x_{3}=1, \end{cases}
e pede (1) usar o método de Jacobi com 3 iterações para obter uma solução aproximada e (2) calcular a precisão obtida. As informações relevantes são as três equações acima e a exigência de exatamente 3 iterações. Não foi dado chute inicial, então vamos adotar a escolha padrão x^{(0)}=(0,0,0).]

Passo 2

O método de Jacobi isola cada variável pela sua equação diagonal e define iterações em que cada componente da nova iteração usa apenas valores da iteração anterior. Isolando as diagonais do sistema temos as fórmulas de iteração:
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)}&=\frac{1}{7}\bigl(9 - x_{2}^{(k)} - 2x_{3}^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_{2}^{(k+1)}&=\frac{1}{-11}\bigl(-3 - 2x_{1}^{(k)} - 6x_{3}^{(k)}\bigr) = \frac{1}{11}\bigl(3 + 2x_{1}^{(k)} + 6x_{3}^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_{3}^{(k+1)}&=\frac{1}{-7}\bigl(1 + x_{1}^{(k)} + 4x_{2}^{(k)}\bigr) = -\frac{1}{7}\bigl(1 + x_{1}^{(k)} + 4x_{2}^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Vou usar x^{(0)}=(0,0,0). Explico rapidamente: cada fórmula calcula a nova coordenada dividindo pelo coeficiente da variável na diagonal; as outras variáveis entram com sinal oposto ao que aparece na equação original (já incorporado acima). Pronto para iterar.]

Passo 3

Cálculo de x^{(1)} usando x^{(0)}=(0,0,0).
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\frac{1}{7}\bigl(9 - 0 - 2\cdot 0\bigr)=\frac{9}{7}\approx 1,28571429,\\[4pt] x_{2}^{(1)}&=\frac{1}{11}\bigl(3 + 2\cdot 0 + 6\cdot 0\bigr)=\frac{3}{11}\approx 0,27272727,\\[4pt] x_{3}^{(1)}&=-\frac{1}{7}\bigl(1 + 0 + 4\cdot 0\bigr)=-\frac{1}{7}\approx -0,14285714. \end{aligned}
Logo
x^{(1)}=\left(\frac{9}{7},\;\frac{3}{11},\;-\frac{1}{7}\right)\approx(1,28571429,\;0,27272727,\;-0,14285714).]

Passo 4

Cálculo de x^{(2)} usando x^{(1)}.
Primeiro, mantenho frações exatas quando possível:
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=\frac{1}{7}\Bigl(9 - \frac{3}{11} - 2\Bigl(-\frac{1}{7}\Bigr)\Bigr) =\frac{1}{7}\Bigl(9 - \frac{3}{11} + \frac{2}{7}\Bigr) =\frac{694}{539}\approx 1,28756957,\\[6pt] x_{2}^{(2)}&=\frac{1}{11}\Bigl(3 + 2\cdot\frac{9}{7} + 6\cdot\Bigl(-\frac{1}{7}\Bigr)\Bigr) =\frac{1}{11}\Bigl(3 + \frac{18}{7} - \frac{6}{7}\Bigr) =\frac{3}{7}\approx 0,42857143,\\[6pt] x_{3}^{(2)}&=-\frac{1}{7}\Bigl(1 + \frac{9}{7} + 4\cdot\frac{3}{11}\Bigr) =-\frac{260}{539}\approx -0,48237217. \end{aligned}
Portanto
x^{(2)}=\left(\frac{694}{539},\;\frac{3}{7},\;-\frac{260}{539}\right) \approx(1,28756957,\;0,42857143,\;-0,48237217).]

Passo 5

Cálculo de x^{(3)} usando x^{(2)}.
Usando as frações exatas obtidas em x^{(2)}:
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=\frac{1}{7}\Bigl(9 - \frac{3}{7} - 2\Bigl(-\frac{260}{539}\Bigr)\Bigr) =\frac{35980}{26411}\approx 1,36231037,\\[6pt] x_{2}^{(3)}&=\frac{1}{11}\Bigl(3 + 2\cdot\frac{694}{539} + 6\cdot\Bigl(-\frac{260}{539}\Bigr)\Bigr) =\frac{1445}{5929}\approx 0,24371732,\\[6pt] x_{3}^{(3)}&=-\frac{1}{7}\Bigl(1 + \frac{694}{539} + 4\cdot\frac{3}{7}\Bigr) =-\frac{15099}{26411}\approx -0,57169361. \end{aligned}
Assim, após 3 iterações:
x^{(3)}=\left(\frac{35980}{26411},\;\frac{1445}{5929},\;-\frac{15099}{26411}\right) \approx(1,36231037,\;0,24371732,\;-0,57169361).
Vai ficando legal — já temos a aproximação pedido.]

Passo 6

Para medir a precisão normalmente comparamos com a solução exata do sistema. Vou resolver o sistema exato por eliminação (passo a passo):
Isolando x_{2} da primeira equação:
x_{2}=9-7x_{1}-2x_{3}.
Substituo em (2) e (3):
Substituindo em (2):
2x_{1}-11(9-7x_{1}-2x_{3})+6x_{3}=-3
\Rightarrow 79x_{1}+28x_{3}=96.
Substituindo em (3):
-x_{1}-4(9-7x_{1}-2x_{3})-7x_{3}=1
\Rightarrow 27x_{1}+x_{3}=37.
Da segunda obtenho x_{3}=37-27x_{1}. Substituindo em 79x_{1}+28x_{3}=96:
79x_{1}+28(37-27x_{1})=96
\Rightarrow -677x_{1}=-940
\Rightarrow x_{1}=\frac{940}{677}.
Então
x_{3}=37-27\cdot\frac{940}{677}=-\frac{331}{677},
e
x_{2}=9-7\cdot\frac{940}{677}-2\cdot\Bigl(-\frac{331}{677}\Bigr)=\frac{175}{677}.
A solução exata é
x=\left(\frac{940}{677},\;\frac{175}{677},\;-\frac{331}{677}\right) \approx(1,38847879,\;0,25849335,\;-0,48882171).

Passo 7

Agora calculo o erro entre a solução exata e a aproximação x^{(3)}. Defino a precisão como a norma infinito do erro (ou seja, o maior valor absoluto das diferenças das componentes). Isso é prático na prova porque dá o maior desvio em qualquer componente.
Erro componente a componente:
\begin{aligned} e_{1}&= \frac{940}{677}-\frac{35980}{26411}\approx 1,38847879-1,36231037\approx 0,02616842,\\[4pt] e_{2}&= \frac{175}{677}-\frac{1445}{5929}\approx 0,25849335-0,24371732\approx 0,01477603,\\[4pt] e_{3}&= -\frac{331}{677}-\Bigl(-\frac{15099}{26411}\Bigr)\approx -0,48882171-(-0,57169361)\approx 0,08287190. \end{aligned}
Norma infinito do erro:
\|e\|_{\infty}=\max\{|e_{1}|,|e_{2}|,|e_{3}|\}\approx 0,08287190.
Portanto, após 3 iterações com chute inicial x^{(0)}=(0,0,0) obtemos a aproximação x^{(3)} acima e a precisão (erro máximo componente) aproximadamente 8{,}287\times 10^{-2}.]

Resposta

x^{(3)}\approx\bigl(1,36231037,\;0,24371732,\;-0,57169361\bigr)
Precisão (norma infinito do erro) \approx 0,08287190

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