Fatore ao máximo os polinômios:
p(x)=x^4-625.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o polinômio $ p(x) = x^{4} - 625 $ e precisamos fatorá-lo ao máximo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fatores notáveis, especialmente a diferença de quadrados.

Passo 2

Vamos reescrever $ x^{4} $ como $ (x{2}){2} $ e 625 como $ 25^{2} $. Assim, nosso polinômio fica:
x^4
Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como $ (a - b)(a + b) $, onde $ a = x^{2} $ e $ b = 25 $.

Passo 3

Aplicando a fórmula da diferença de quadrados:
(x^2)^2 - 25^2 = (x^2 - 25)(x^2 + 25)
Agora, temos dois fatores: $ x^{2} - 25 $ e $ x^{2} + 25 $.

Passo 4

Vamos fatorar $ x^{2} - 25 $ novamente como uma diferença de quadrados. Reescrevendo:
x^2 - 25

Resposta

O polinômio fatorado ao máximo é:
p(x) = (x - 5)(x + 5)(x^2 + 25)

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