Simplifique:
Passo 1
O problema pede para simplificar a expressão
Informações dadas: a expressão contém
e
elevados a potências. O objetivo é transformar essa expressão numa forma mais simples (uma única potência de seno, se possível).
Passo 2
Lembrete importante (definição): por definição da função cosecante,
desde que
(porque não se pode dividir por zero). Vou usar essa igualdade para reescrever
.
Passo 3
Usando a definição, temos
Aqui estou apenas elevando ambos os lados ao quadrado: se
então
.
Passo 4
Substituo
na expressão original:
Quando dividimos por uma fração, é o mesmo que multiplicar pelo inverso dessa fração.
Passo 5
Transformo a divisão em multiplicação pelo inverso:
Explicação: dividir por
equivale a multiplicar por
.
Passo 6
Agora aplico a regra de potências para multiplicação de bases iguais:
. Aqui
,
,
. Logo
Passo 7
Verificação numérica rápida para ganhar confiança: tome
. Então
.
Cálculo da expressão original:
Cálculo da expressão original:
Cálculo da forma simplificada:
Coincidem, ótimo!
Passo 8
Observação sobre domínio: a simplificação algébrica resultou em
, mas a expressão inicial só está definida quando
(pois
não existe para
). Portanto, a igualdade
vale para todos os
tais que
.