Simplifique:
\frac{\sin ^{3} \theta}{\csc ^{2} \theta}

Passo 1

O problema pede para simplificar a expressão
\frac{\sin^{3}\theta}{\csc^{2}\theta}.
Informações dadas: a expressão contém \sin\theta e \csc\theta elevados a potências. O objetivo é transformar essa expressão numa forma mais simples (uma única potência de seno, se possível).

Passo 2

Lembrete importante (definição): por definição da função cosecante,
\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},
desde que \sin\theta\neq 0 (porque não se pode dividir por zero). Vou usar essa igualdade para reescrever \csc^{2}\theta.

Passo 3

Usando a definição, temos
\csc^{2}\theta=\left(\frac{1}{\sin\theta}\right)^{2}=\frac{1}{\sin^{2}\theta}.
Aqui estou apenas elevando ambos os lados ao quadrado: se a=\frac{1}{b} então a^{2}=\frac{1}{b^{2}}.

Passo 4

Substituo \csc^{2}\theta na expressão original:
\frac{\sin^{3}\theta}{\csc^{2}\theta} = \frac{\sin^{3}\theta}{\dfrac{1}{\sin^{2}\theta}}.
Quando dividimos por uma fração, é o mesmo que multiplicar pelo inverso dessa fração.

Passo 5

Transformo a divisão em multiplicação pelo inverso:
\frac{\sin^{3}\theta}{\dfrac{1}{\sin^{2}\theta}} = \sin^{3}\theta\cdot \sin^{2}\theta.
Explicação: dividir por \tfrac{1}{\sin^{2}\theta} equivale a multiplicar por \sin^{2}\theta.

Passo 6

Agora aplico a regra de potências para multiplicação de bases iguais: a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Aqui a=\sin\theta, m=3, n=2. Logo
\sin^{3}\theta\cdot \sin^{2}\theta=\sin^{3+2}\theta=\sin^{5}\theta.

Passo 7

Verificação numérica rápida para ganhar confiança: tome \theta=\tfrac{\pi}{6}. Então \sin\theta=\tfrac{1}{2}.
Cálculo da expressão original:
\frac{\sin^{3}\theta}{\csc^{2}\theta}=\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}}{\left(\dfrac{1}{\tfrac{1}{2}}\right)^{2}}=\frac{\tfrac{1}{8}}{4}=\tfrac{1}{32}.
Cálculo da forma simplificada:
\sin^{5}\theta=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}=\tfrac{1}{32}.
Coincidem, ótimo!

Passo 8

Observação sobre domínio: a simplificação algébrica resultou em \sin^{5}\theta, mas a expressão inicial só está definida quando \sin\theta\neq 0 (pois \csc\theta não existe para \sin\theta=0). Portanto, a igualdade
\frac{\sin^{3}\theta}{\csc^{2}\theta}=\sin^{5}\theta
vale para todos os \theta tais que \sin\theta\neq 0.

Resposta

\sin^{5}\theta

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