Simplifique:
\frac{\operatorname{sec} \beta \cdot \tan \beta}{\csc \beta}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\dfrac{\operatorname{sec} \beta \cdot \tan \beta}{\csc \beta}.
Informações dadas (o que aparece na expressão): \operatorname{sec} \beta, \tan \beta e \csc \beta.
Não há valores numéricos; devemos manipular simbolicamente as funções trigonométricas para obter uma forma mais simples.

Passo 2

Vamos lembrar (e explicar) as definições básicas das funções trigonométricas em termos de seno e cosseno — isso é útil porque trabalhar com \sin e \cos costuma simplificar as contas.
Definições:
\operatorname{sec} \beta = \dfrac{1}{\cos \beta}. Aqui \cos \beta é o cosseno de \beta, e \operatorname{sec} é o recíproco do cosseno.
\tan \beta = \dfrac{\sin \beta}{\cos \beta}. A tangente é razão entre seno e cosseno.
\csc \beta = \dfrac{1}{\sin \beta}. A cosecante é o recíproco do seno.
Essas igualdades são apenas reescritas das funções trigonométricas, nada místico — só trocar por \sin e \cos.

Passo 3

Substituo as definições na expressão original. A expressão era
\dfrac{\operatorname{sec} \beta \cdot \tan \beta}{\csc \beta}.
Substituindo:
\dfrac{\left(\dfrac{1}{\cos \beta}\right)\cdot\left(\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta}\right)}{\dfrac{1}{\sin \beta}}.
Aqui só troquei cada função pela sua forma em \sin e \cos.

Passo 4

Simplifico passo a passo o numerador e depois a divisão:
O numerador é
\dfrac{1}{\cos \beta}\cdot\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta} = \dfrac{\sin \beta}{\cos^2 \beta}.
Logo a expressão fica
\dfrac{\dfrac{\sin \beta}{\cos^2 \beta}}{\dfrac{1}{\sin \beta}}.

Passo 5

Dividir por uma fração é multiplicar pelo recíproco. Então
\dfrac{\dfrac{\sin \beta}{\cos^2 \beta}}{\dfrac{1}{\sin \beta}} = \dfrac{\sin \beta}{\cos^2 \beta}\cdot \sin \beta.
Multiplicando os fatores em \sin \beta:
\dfrac{\sin \beta \cdot \sin \beta}{\cos^2 \beta} = \dfrac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}.

Passo 6

Agora uso a relação entre seno, cosseno e tangente: \tan \beta = \dfrac{\sin \beta}{\cos \beta}. Elevando ambos os lados ao quadrado dá
\tan^2 \beta = \left(\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta}\right)^2 = \dfrac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}.
Portanto a forma obtida \dfrac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} corresponde a \tan^2 \beta.

Passo 7

Comentário importante sobre domínio (pra não ser pego de surpresa na prova): usamos \operatorname{sec} e \csc e também dividimos por \cos e por \sin, então é necessário que \cos \beta \neq 0 e \sin \beta \neq 0. Ou seja, a simplificação vale para \beta tais que seno e cosseno sejam não nulos (casos onde as funções originais estão definidas).

Resposta

\tan^2 \beta

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