Simplifique:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
.
Informações dadas (o que aparece na expressão): ,
e
.
Não há valores numéricos; devemos manipular simbolicamente as funções trigonométricas para obter uma forma mais simples.
Informações dadas (o que aparece na expressão):
Não há valores numéricos; devemos manipular simbolicamente as funções trigonométricas para obter uma forma mais simples.
Passo 2
Vamos lembrar (e explicar) as definições básicas das funções trigonométricas em termos de seno e cosseno — isso é útil porque trabalhar com
e
costuma simplificar as contas.
Definições:
. Aqui
é o cosseno de
, e
é o recíproco do cosseno.
. A tangente é razão entre seno e cosseno.
. A cosecante é o recíproco do seno.
Essas igualdades são apenas reescritas das funções trigonométricas, nada místico — só trocar por e
.
Definições:
Essas igualdades são apenas reescritas das funções trigonométricas, nada místico — só trocar por
Passo 3
Substituo as definições na expressão original. A expressão era
.
Substituindo:
Substituindo:
Aqui só troquei cada função pela sua forma em
e
.
Passo 4
Simplifico passo a passo o numerador e depois a divisão:
O numerador é
.
Logo a expressão fica
O numerador é
Logo a expressão fica
Passo 5
Dividir por uma fração é multiplicar pelo recíproco. Então
Multiplicando os fatores em
:
Passo 6
Agora uso a relação entre seno, cosseno e tangente:
. Elevando ambos os lados ao quadrado dá
Portanto a forma obtida
corresponde a
.
Passo 7
Comentário importante sobre domínio (pra não ser pego de surpresa na prova): usamos
e
e também dividimos por
e por
, então é necessário que
e
. Ou seja, a simplificação vale para
tais que seno e cosseno sejam não nulos (casos onde as funções originais estão definidas).