Fatore o máximo que puder:
3 x^{4}-15 x^{3}+24 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: fatorar ao máximo a expressão 3x^{4}-15x^{3}+24x^{2}.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes são 3,\,-15,\;24 e os expoentes das potências de x são 4,\;3,\;2. O objetivo é escrever o polinômio como produto de fatores (preferivelmente com coeficientes inteiros), tirando primeiro fatores comuns e depois, se possível, fatorando o polinômio remanescente.

Passo 2

Primeiro passo prático: procurar o maior fator comum (MFC) em todos os termos. Isso envolve dois itens:
  1. O MFC dos coeficientes 3,\,-15,\;24 é 3, pois 3 divide todos eles e nenhum número maior que 3 faz isso.
  2. Para a parte variável, os termos têm x^{4},\;x^{3},\;x^{2}; o menor expoente é 2, então o fator comum em x é x^{2}.
Portanto o maior fator comum do polinômio é 3x^{2}. Agora dividimos cada termo por 3x^{2} e colocamos em evidência:
3x^{4}-15x^{3}+24x^{2}=3x^{2}\bigl(x^{2}-5x+8\bigr).

Passo 3

Agora tentamos fatorar o polinômio quadrático interno x^{2}-5x+8. Métodos comuns:
  • Tentar achar dois números inteiros cuja soma seja o coeficiente do termo linear (aqui -5) e cujo produto seja o termo constante (aqui 8).
  • Se não achar, usar a fórmula do discriminante para ver se tem raízes reais.
Tentativa por soma/produto: pares inteiros com produto 8 são (1,8) e (2,4), e suas somas são 9 e 6; com sinais negativos seriam -9 e -6. Nenhum desses pares soma -5. Então não é fatorável em fatores lineares com coeficientes inteiros.

Passo 4

Usamos o discriminante para decidir sobre raízes reais. Para uma quadrática ax^{2}+bx+c o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Aqui a=1,\;b=-5,\;c=8, então
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot8=25-32=-7.
Como \Delta<0, não há raízes reais; a quadrática é irredutível sobre os reais (logo também sobre os racionais/inteiros). Portanto não podemos fatorar x^{2}-5x+8 em polinômios lineares com coeficientes reais.

Passo 5

Conclusão: a fatoração máxima sobre os reais/racionais/inteiros é a que tiramos o fator comum. Se quisesse fatorar sobre os complexos, usaríamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para obter as raízes complexas
x=\frac{5\pm i\sqrt{7}}{2},
e então a fatoração completa sobre \mathbb{C} seria
3x^{2}\left(x-\frac{5}{2}+\frac{i\sqrt{7}}{2}\right)\left(x-\frac{5}{2}-\frac{i\sqrt{7}}{2}\right),
mas para a maioria das provas de graduação a fatoração pedida é a com coeficientes reais/inteiros.

Resposta

3x^{2}\bigl(x^{2}-5x+8\bigr)

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