Fatore o máximo que puder:
Passo 1
O enunciado pede: fatorar ao máximo a expressão
.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes são e os expoentes das potências de
são
. O objetivo é escrever o polinômio como produto de fatores (preferivelmente com coeficientes inteiros), tirando primeiro fatores comuns e depois, se possível, fatorando o polinômio remanescente.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes são
Passo 2
Primeiro passo prático: procurar o maior fator comum (MFC) em todos os termos. Isso envolve dois itens:
- O MFC dos coeficientes
é , pois divide todos eles e nenhum número maior que faz isso. - Para a parte variável, os termos têm
; o menor expoente é , então o fator comum em é .
Portanto o maior fator comum do polinômio é
. Agora dividimos cada termo por
e colocamos em evidência:
Passo 3
Agora tentamos fatorar o polinômio quadrático interno
. Métodos comuns:
- Tentar achar dois números inteiros cuja soma seja o coeficiente do termo linear (aqui
) e cujo produto seja o termo constante (aqui ). - Se não achar, usar a fórmula do discriminante para ver se tem raízes reais.
Tentativa por soma/produto: pares inteiros com produto
são
e
, e suas somas são
e
; com sinais negativos seriam
e
. Nenhum desses pares soma
. Então não é fatorável em fatores lineares com coeficientes inteiros.
Passo 4
Usamos o discriminante para decidir sobre raízes reais. Para uma quadrática
o discriminante é
. Aqui
, então
Como
, não há raízes reais; a quadrática é irredutível sobre os reais (logo também sobre os racionais/inteiros). Portanto não podemos fatorar
em polinômios lineares com coeficientes reais.
Passo 5
Conclusão: a fatoração máxima sobre os reais/racionais/inteiros é a que tiramos o fator comum. Se quisesse fatorar sobre os complexos, usaríamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para obter as raízes complexas
e então a fatoração completa sobre
seria
mas para a maioria das provas de graduação a fatoração pedida é a com coeficientes reais/inteiros.