Fatore os polinômios.
-16 x^{2}+8 x-1

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio -16 x^{2}+8 x-1.
Informações dadas:
  • O polinômio é uma função quadrática de coeficientes conhecidos: termo quadrático -16, termo linear 8 e termo constante -1.
  • A tarefa é escrever esse polinômio como produto de fatores (por exemplo, produto de polinômios de grau menor).

Passo 2

Primeiro passo prático: tirar um fator comum simples para simplificar a vista. Note que todos os coeficientes têm sinal que permite fatorar -1. Faço isso:
-16x^{2}+8x-1 = -1\cdot\bigl(16x^{2}-8x+1\bigr).
Explicação curta: puxar -1 é útil para trabalhar com um trinômio com coeficiente principal positivo.

Passo 3

Agora analisar o trinômio interno \,16x^{2}-8x+1. Uma estratégia para fatorar quadráticos é reconhecer se ele é um quadrado perfeito. Um quadrado perfeito tem a forma
(ax+b)^{2} = a^{2}x^{2} + 2ab\,x + b^{2}.
Aqui queremos ver se existem a e b tais que
a^{2}=16,\qquad 2ab=-8,\qquad b^{2}=1.
  • De a^{2}=16 segue a=4 (escolhemos a=4 sem perda de generalidade).
  • De b^{2}=1 segue b=\pm 1. Testamos os sinais em 2ab:
    • Com b=1 temos 2ab=2\cdot4\cdot1=8 (não bate com -8).
    • Com b=-1 temos 2ab=2\cdot4\cdot(-1)=-8 (bate certinho).
Portanto
16x^{2}-8x+1 = (4x-1)^{2}.

Passo 4

Complemento: outro jeito (para reforçar) é usar o discriminante da forma geral ax^{2}+bx+c, que é \Delta = b^{2}-4ac. Se \Delta=0 o trinômio tem raiz dupla e é quadrado perfeito. Aplicando em 16x^{2}-8x+1:
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot16\cdot1 = 64-64=0,
logo há raiz dupla. A raiz é x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}, o que corresponde ao fator 4x-1 com multiplicidade 2, ou seja (4x-1)^{2}. Isso confirma o resultado do passo anterior.

Passo 5

Juntando com o fator -1 que tiramos no começo, escrevemos o polinômio original como -1 vezes o quadrado perfeito encontrado. Assim a fatoração final é obtida combinando essas peças.

Resposta

- (4x-1)^{2}

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