Fatore os polinômios.
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O polinômio é uma função quadrática de coeficientes conhecidos: termo quadrático
, termo linear e termo constante . - A tarefa é escrever esse polinômio como produto de fatores (por exemplo, produto de polinômios de grau menor).
Passo 2
Primeiro passo prático: tirar um fator comum simples para simplificar a vista. Note que todos os coeficientes têm sinal que permite fatorar
. Faço isso:
Explicação curta: puxar
é útil para trabalhar com um trinômio com coeficiente principal positivo.
Passo 3
Agora analisar o trinômio interno
. Uma estratégia para fatorar quadráticos é reconhecer se ele é um quadrado perfeito. Um quadrado perfeito tem a forma
Aqui queremos ver se existem
e
tais que
- De
segue (escolhemos sem perda de generalidade). - De
segue . Testamos os sinais em : - Com
temos (não bate com ). - Com
temos (bate certinho).
- Com
Portanto
Passo 4
Complemento: outro jeito (para reforçar) é usar o discriminante da forma geral
, que é
. Se
o trinômio tem raiz dupla e é quadrado perfeito. Aplicando em
:
logo há raiz dupla. A raiz é
, o que corresponde ao fator
com multiplicidade
, ou seja
. Isso confirma o resultado do passo anterior.
Passo 5
Juntando com o fator
que tiramos no começo, escrevemos o polinômio original como
vezes o quadrado perfeito encontrado. Assim a fatoração final é obtida combinando essas peças.