Fatore os polinômios.
Passo 1
O enunciado pede: “Fatore os polinômios.” O polinômio que foi dado é
.
Informações que temos do enunciado:
Informações que temos do enunciado:
- O polinômio a fatorar é
. - Não há mais condições nem restrições (por exemplo, em que forma o professor quer a fatoração), então qualquer fatoração correta e equivalente serve.
Passo 2
O que significa “fatorar um polinômio” (explicação didática e simples): fatorar é escrever o polinômio como produto de fatores mais simples (números, variáveis ou polinômios de grau menor). Um método muito comum é retirar o fator comum em todos os termos — o chamado máximo divisor comum (MDC) dos termos.
Como identificar o fator comum entre termos:
- Olhe os coeficientes numéricos (a parte numérica) e encontre o maior inteiro que divide todos eles.
- Olhe as potências da variável
em cada termo e pegue a menor potência que aparece em todos os termos (essa é a potência de que você pode fatorar).
No nosso caso as “partes” de cada termo são: - primeiro termo:
(coeficiente , potência de é ); - segundo termo:
(coeficiente , potência de é ).
Passo 3
Determinar o fator comum em
e
:
- Coeficientes numéricos:
e . O maior inteiro positivo que divide ambos é . Portanto não há um fator inteiro maior que 1 comum. - Potências de
: temos no primeiro termo e no segundo. A menor potência comum é , ou simplesmente .
Conclusão: um fator comum que podemos retirar é
. (Também é possível retirar
se quisermos que o primeiro termo dentro do parêntese fique com sinal positivo; ambas as formas são corretas — vou mostrar as duas.)
Passo 4
Fatorando por
: retire
de cada termo. Para ver como fazer, pense: se eu escrevo
multiplicando por alguma coisa, ao multiplicar devo recuperar os termos originais.
Escrevendo o passo de fatoração:
Explicando: ao distribuir
para dentro do parêntese obtemos
e
, que são exatamente os termos originais. Assim a fatoração está correta.
Passo 5
Forma alternativa (fatorando
): às vezes é conveniente que o primeiro termo dentro do parêntese seja
em vez de
. Para isso podemos fatorar
. Veja:
Essas duas escritas são equivalentes porque
. Escolha a forma que o seu professor prefere; matematicamente ambas representam a fatoração correta.
Passo 6
Como checar rapidamente num prova (técnica prática):
- Multiplique os fatores de volta (distribuição) e confirme que obtém o polinômio original.
- Verifique sinais: se houver confusão sobre o sinal dentro do parêntese, experimente fatorar
adicionalmente para ajustar sinais.
Exemplo extra 1 (para treinar): fatorar
.
- Fator comum numérico:
(pois divide e ). - Potência comum de
: . - Resultado:
Checagem:
,
.
Exemplo extra 2: fatorar
.
- Fator comum:
. - Resultado:
Checagem rápida:
,
.
Passo 7
Dicas finais para a prova (resumindo e motivando):
- Primeiro passo sempre: busque o fator comum — isso resolve a grande maioria dos polinômios simples.
- Se estiver em dúvida sobre sinais, teste fatorar com
ou com e escolha a forma que deixar os termos mais “bonitos”. - Faça a checagem rápida distribuindo os fatores de volta; isso evita erros bobos.
- Força aí! Comece pelos exercícios fáceis para ganhar ritmo; fatorar por fator comum é um dos exercícios mais frequentes e rápidos na prova.