Fatore os polinômios.
3 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: “Fatore os polinômios.” O polinômio que foi dado é 3x - x^{2}.
Informações que temos do enunciado:
  • O polinômio a fatorar é \;3x - x^{2}.
  • Não há mais condições nem restrições (por exemplo, em que forma o professor quer a fatoração), então qualquer fatoração correta e equivalente serve.

Passo 2

O que significa “fatorar um polinômio” (explicação didática e simples): fatorar é escrever o polinômio como produto de fatores mais simples (números, variáveis ou polinômios de grau menor). Um método muito comum é retirar o fator comum em todos os termos — o chamado máximo divisor comum (MDC) dos termos.
Como identificar o fator comum entre termos:
  • Olhe os coeficientes numéricos (a parte numérica) e encontre o maior inteiro que divide todos eles.
  • Olhe as potências da variável x em cada termo e pegue a menor potência que aparece em todos os termos (essa é a potência de x que você pode fatorar).
    No nosso caso as “partes” de cada termo são:
  • primeiro termo: 3x (coeficiente 3, potência de x é x^{1});
  • segundo termo: -x^{2} (coeficiente -1, potência de x é x^{2}).

Passo 3

Determinar o fator comum em 3x e -x^{2}:
  • Coeficientes numéricos: 3 e -1. O maior inteiro positivo que divide ambos é 1. Portanto não há um fator inteiro maior que 1 comum.
  • Potências de x: temos x^{1} no primeiro termo e x^{2} no segundo. A menor potência comum é x^{1}, ou simplesmente x.
Conclusão: um fator comum que podemos retirar é x. (Também é possível retirar -x se quisermos que o primeiro termo dentro do parêntese fique com sinal positivo; ambas as formas são corretas — vou mostrar as duas.)

Passo 4

Fatorando por x: retire x de cada termo. Para ver como fazer, pense: se eu escrevo x multiplicando por alguma coisa, ao multiplicar devo recuperar os termos originais.
Escrevendo o passo de fatoração:
3x - x^{2} = x\bigl(3 - x\bigr).
Explicando: ao distribuir x para dentro do parêntese obtemos x\cdot 3 = 3x e x\cdot(-x) = -x^{2}, que são exatamente os termos originais. Assim a fatoração está correta.

Passo 5

Forma alternativa (fatorando -x): às vezes é conveniente que o primeiro termo dentro do parêntese seja (x-3) em vez de (3-x). Para isso podemos fatorar -x. Veja:
3x - x^{2} = -x\bigl(x - 3\bigr).
Essas duas escritas são equivalentes porque -x(x-3) = x(3-x). Escolha a forma que o seu professor prefere; matematicamente ambas representam a fatoração correta.

Passo 6

Como checar rapidamente num prova (técnica prática):
  • Multiplique os fatores de volta (distribuição) e confirme que obtém o polinômio original.
  • Verifique sinais: se houver confusão sobre o sinal dentro do parêntese, experimente fatorar -1 adicionalmente para ajustar sinais.
Exemplo extra 1 (para treinar): fatorar 6x^{2} + 9x.
  • Fator comum numérico: 3 (pois 3 divide 6 e 9).
  • Potência comum de x: x^{1}.
  • Resultado:
6x^{2} + 9x = 3x\bigl(2x + 3\bigr).
Checagem: 3x\cdot 2x = 6x^{2}, 3x\cdot 3 = 9x.
Exemplo extra 2: fatorar x^{2} - 4x.
  • Fator comum: x.
  • Resultado:
x^{2} - 4x = x\bigl(x - 4\bigr).
Checagem rápida: x\cdot x = x^{2}, x\cdot(-4) = -4x.

Passo 7

Dicas finais para a prova (resumindo e motivando):
  • Primeiro passo sempre: busque o fator comum — isso resolve a grande maioria dos polinômios simples.
  • Se estiver em dúvida sobre sinais, teste fatorar com x ou com -x e escolha a forma que deixar os termos mais “bonitos”.
  • Faça a checagem rápida distribuindo os fatores de volta; isso evita erros bobos.
  • Força aí! Comece pelos exercícios fáceis para ganhar ritmo; fatorar por fator comum é um dos exercícios mais frequentes e rápidos na prova.

Resposta

x(3 - x)

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