Resolva as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão é o produto de três fatores:
, e . - Queremos encontrar todos os valores de
reais que tornam esse produto menor ou igual a zero.
Passo 2
Observação útil: o fator
é positivo para todo
. Multiplicar por uma constante positiva não altera o sinal de uma expressão nem a direção da desigualdade. Ou seja, resolver
é equivalente a resolver
Isso simplifica o trabalho porque agora lidamos só com o produto de dois fatores que dependem de
.
Passo 3
Para entender onde um produto é não positivo, primeiro achamos os pontos onde o produto é zero (as raízes). Esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal é constante.
Resolver
dá duas soluções:
Passo 4
Regra do produto: um produto de dois números reais é negativo quando os fatores têm sinais opostos; é zero quando pelo menos um fator é zero; é positivo quando ambos têm o mesmo sinal. Como queremos o produto menor ou igual a zero, buscamos os pontos em que o produto é zero ou negativo — isto é, onde os fatores têm sinais opostos ou algum fator é zero.
Os pontos críticos que dividem a reta são
e
. Então os intervalos a analisar são:
Passo 5
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo para determinar o sinal do produto
.
-
Para
(intervalo ): Dois fatores negativos ⇒ produto positivo. -
Para
(intervalo ): Um fator positivo e outro negativo ⇒ produto negativo. -
Para
(intervalo ): Dois fatores positivos ⇒ produto positivo.
Passo 6
Interpretando os resultados dos testes:
- Em
o produto é positivo (não satisfaz a desigualdade). - Em
o produto é negativo (satisfaz a desigualdade). - Em
o produto é positivo (não satisfaz a desigualdade).
Além disso, nos pontose o produto é zero, e a desigualdade permite o zero ( ), portanto esses pontos também pertencem à solução.
Passo 7
Conclusão lógica (sem escrever a resposta final neste passo): a solução é o conjunto dos
entre as duas raízes, incluindo as raízes, visto que ali o produto é não positivo.