Resolva as desigualdades.
2 x(x-1 / 4) \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade \,2x\bigl(x-\tfrac{1}{4}\bigr)\leq 0\,.
Informações dadas:
  • A expressão é o produto de três fatores: 2, x e \bigl(x-\tfrac{1}{4}\bigr).
  • Queremos encontrar todos os valores de x reais que tornam esse produto menor ou igual a zero.

Passo 2

Observação útil: o fator 2 é positivo para todo x. Multiplicar por uma constante positiva não altera o sinal de uma expressão nem a direção da desigualdade. Ou seja, resolver
2x\bigl(x-\tfrac{1}{4}\bigr)\leq 0
é equivalente a resolver
x\bigl(x-\tfrac{1}{4}\bigr)\leq 0.
Isso simplifica o trabalho porque agora lidamos só com o produto de dois fatores que dependem de x.

Passo 3

Para entender onde um produto é não positivo, primeiro achamos os pontos onde o produto é zero (as raízes). Esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal é constante.
Resolver x\bigl(x-\tfrac{1}{4}\bigr)=0 dá duas soluções:
x=0\quad\text{e}\quad x=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Regra do produto: um produto de dois números reais é negativo quando os fatores têm sinais opostos; é zero quando pelo menos um fator é zero; é positivo quando ambos têm o mesmo sinal. Como queremos o produto menor ou igual a zero, buscamos os pontos em que o produto é zero ou negativo — isto é, onde os fatores têm sinais opostos ou algum fator é zero.
Os pontos críticos que dividem a reta são x=0 e x=\tfrac{1}{4}. Então os intervalos a analisar são:
(-\infty,0),\qquad (0,\tfrac{1}{4}),\qquad (\tfrac{1}{4},\infty).

Passo 5

Escolhemos um valor de teste em cada intervalo para determinar o sinal do produto x\bigl(x-\tfrac{1}{4}\bigr).
  • Para x=-1 (intervalo (-\infty,0)):
    x = -1 \Rightarrow x < 0\quad\text{e}\quad x-\tfrac{1}{4} = -1-\tfrac{1}{4} = -\tfrac{5}{4}<0.
    Dois fatores negativos ⇒ produto positivo.
  • Para x=\tfrac{1}{8} (intervalo (0,\tfrac{1}{4})):
    x = \tfrac{1}{8} \Rightarrow x>0\quad\text{e}\quad x-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{8}<0.
    Um fator positivo e outro negativo ⇒ produto negativo.
  • Para x=1 (intervalo (\tfrac{1}{4},\infty)):
    x = 1 \Rightarrow x>0\quad\text{e}\quad x-\tfrac{1}{4}= \tfrac{3}{4}>0.
    Dois fatores positivos ⇒ produto positivo.

Passo 6

Interpretando os resultados dos testes:
  • Em (-\infty,0) o produto é positivo (não satisfaz a desigualdade).
  • Em (0,\tfrac{1}{4}) o produto é negativo (satisfaz a desigualdade).
  • Em (\tfrac{1}{4},\infty) o produto é positivo (não satisfaz a desigualdade).
    Além disso, nos pontos x=0 e x=\tfrac{1}{4} o produto é zero, e a desigualdade permite o zero ( \leq 0), portanto esses pontos também pertencem à solução.

Passo 7

Conclusão lógica (sem escrever a resposta final neste passo): a solução é o conjunto dos x entre as duas raízes, incluindo as raízes, visto que ali o produto é não positivo.

Resposta

0 \le x \le \dfrac{1}{4}

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