Fatore os polinômios abaixo utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini:
x^3-5 x^2+7 x+13

Passo 1

O polinômio que queremos fatorar é x^3-5x^2+7x+13. O assunto aqui é fatoração de polinômios de grau 3 usando o algoritmo de Briot-Ruffini (divisão sintética). Para isso, vamos precisar do teorema das raízes racionais (que dá candidatos pm1,pm13) e depois aplicar a divisão sintética para isolar um fator de grau 1 e obter um quociente quadrático.

Passo 2

Pelo teorema das raízes racionais, as possíveis raízes de x^3-5x^2+7x+13=0 são os divisores de 13, ou seja, pm1,pm13. Vamos testar x=1 e x=-1:
Em linha:
f(1)=1-5+7+13=16neq0;
f(-1)=-1-5-7+13=0. Logo, x=-1 é raiz.

Passo 3

Como x=-1 é raiz, montamos a divisão sintética com coeficientes 1, -5, 7, 13 e o valor -1:
c|rrrr -1 & 1 & -5 & 7 & 13 & & -1 & 6 & -13 hline & 1 & -6 & 13 & 0
O resto deu zero (confirma a raiz) e o quociente é x^2-6x+13.

Passo 4

Agora precisamos fatorar o quadrático x^2-6x+13. Calculamos o discriminante:
De. Como De, não há raízes reais, então ele é irreduzível sobre os reais. Assim a fatoração completa sobre R é o produto do fator lineares real (x+1) pelo quadrático.

Passo 5

Juntando tudo, chegamos à fatoração do polinômio original.

Resposta

(x+1)(x^2 - 6x + 13)

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