Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
x^2+x-1

Passo 1

A questão pede para achar as raízes reais de f(x)=x^{2}+x-1 usando completamento de quadrados e depois esboçar o gráfico dessa parábola. Vamos precisar conhecer a técnica de completar o quadrado e saber que f é uma função quadrática côncava para cima.

Passo 2

Começamos escrevendo f(x) em forma de quadrado perfeito. Pegamos x^{2}+x e adicionamos e subtraímos o termo necessário: escrevemos
x^2+x-1 = l(x^2+x+tfrac14r) - tfrac14 -1
Observe que adicionamos tfrac14 dentro do parênteses e subtraímos tfrac14 fora para não alterar a função. Agora
x^2+x-1 = (x+tfrac12)^2 - tfrac54

Passo 3

Da forma f(x)=(x+tfrac12)^2-tfrac54 já vemos que o vértice da parábola é
l(-tfrac12, -tfrac54r)
e a concavidade é para cima, pois o coeficiente de (x+tfrac12)^2 é positivo.

Passo 4

Para achar as raízes, fazemos f(x)=0:
(x+tfrac12)^2 - tfrac54 = 0
(x+tfrac12)^2 = tfrac54
x+tfrac12 = pmtfracraiz52
Logo
x = -tfrac12 pm tfracraiz52 = -1 pm raiz52

Passo 5

Para esboçar o gráfico, marcamos:
• Vértice em (-tfrac12,-tfrac54).
• Raízes em x=-1-raiz52 e x=-1+raiz52.
• Ponto f(0)=−1 no eixo y. A parábola abre para cima, com eixo de simetria x=−1/2.
O esboço então mostra uma curva acima do eixo y para longe, passando por esses pontos.

Resposta

As raízes reais são x=tfrac-1-raiz52 e x=tfrac-1+raiz52. O vértice é (-tfrac12,-tfrac54), a parábola abre para cima, eixo de simetria x=-tfrac12.

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