Fatore:
(e) P+P r+(P+P r) r+[P+P r+(P+P r) r] r

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão
P + P,r + (P + P,r),r + l[P + P,r + (P + P,r),rr],r
Vamos usar álgebra elementar: expandir, combinar termos e reconhecer o padrão do binômio de Newton.

Passo 2

Expandimos cada parcela separadamente:
(P + P,r),r = P,r + P,r^2
e
l[P + P,r + (P + P,r),rr],r = [P + P,r + P,r + P,r^2],r = (P + 2P,r + P,r^2),r = P,r + 2P,r^2 + P,r^3
Assim a soma original fica
P + P,r + (P,r + P,r^2) + (P,r + 2P,r^2 + P,r^3)

Passo 3

Agora combinamos termos semelhantes:
coeficiente de P: 1,
coeficiente de P,r: 1+1+1=3,
coeficiente de P,r^2: 1+2=3,
coeficiente de P,r^3: 1.
Logo a soma é
P + 3P,r + 3P,r^2 + P,r^3

Passo 4

Reconhecemos o padrão do binômio de Newton:
(1 + r)^3 = 1 + 3r + 3r^2 + r^3
Bast a fatorar P para obter
P,(1 + r)^3

Resposta

P(1 + r)^3

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