resolva cada PVI.
l y^prime prime-6 y^prime+13 y=0 y(0)=0 e y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y'' - 6y' + 13y = 0, y(0)=0,;y'(0)=-1
É uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos achar a solução geral via equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 - 6r + 13 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-6)^2 - 4cdot1cdot13 = 36 - 52 = -16
Como De<a<0, teremos raízes complexas.

Passo 3

As raízes complexas são
r = 6pmraiz-162 = 3pm2,i
Para raízes 3pm2i, a solução geral é
y(x) = e^3xl(C1cos(2x)+C2sin(2x)r)

Passo 4

Derivamos y(x) para aplicar a condição em y'(0). Usando o produto,
y'(x) = e^3xl(3(C1cos2x + C2sin2x) + (-2C1sin2x + 2C2cos2x)r)

Passo 5

Impondo y(0)=0:
y(0)=e^0(C1cdot1 + C2cdot0)=C1=0
Impondo y'(0)=-1:
y'(0) = e^0l(3C1 + 2C2r) =3cdot0 + 2C2 =2C2 ;=;-1 ;Longrightarrow; C2=-tfrac12

Passo 6

Com C1=0 e C2=-tfrac12, a solução particular é
y(x) = e^3xl(0cdotcos2x - tfrac12sin2xr) = -tfrac12,e^3xsin(2x)

Resposta

y(x) = -12e^3xsin(2x)

Exercícios relacionados