Fatore as seguintes expressões quadráticas
e
Passo 1
Temos que fatorar as expressões quadráticas 2x² – 5bx – 3b² e x² – 4x – 21. O conteúdo é fatoração de trinômios quadráticos e vamos usar o método “ac” (ou soma e produto) para decompor o termo do meio e depois agrupar.
Passo 2
No método “ac”, para um trinômio ax² + bx + c a gente faz o seguinte: calcular o produto ac, depois encontrar dois números m e n tais que m + n = b e m·n = ac. Em seguida, reescreve o termo bx como m·x + n·x, faz agrupamento e fatora em partes.
Passo 3
Aplicando na expressão 2x² – 5bx – 3b²: 1) aqui a = 2, b = –5b e c = –3b², então ac = 2·(–3b²) = –6b². 2) Precisamos de m + n = –5b e m·n = –6b². Duas opções que funcionam são m = b e n = –6b. 3) Escrevendo o termo do meio: 2x² + bx – 6bx – 3b². 4) Agrupando: (2x² + bx) + (–6bx – 3b²) e fatorando cada parte, temos x(2x + b) – 3b(2x + b). 5) Assim,
Passo 4
Agora, para x² – 4x – 21: 1) aqui a = 1, b = –4 e c = –21, então ac = 1·(–21) = –21. 2) Buscamos m + n = –4 e m·n = –21. Os números são m = –7 e n = 3. 3) Reescrevendo: x² – 7x + 3x – 21. 4) Agrupando: (x² – 7x) + (3x – 21) e fatorando: x(x – 7) + 3(x – 7). 5) Logo,
Resposta
As fatorações são:[(2x + b)(x - 3b)\quad e\quad (x - 7)(x + 3).