Uma lâmina esférica é representada pela equação vetorial r(u, v)=(a cos u cos v, a sen u cos v, a sen v), 0 <= u <= 2 pi e-pi2 <= v <= pi2.
Supondo a=4, representar sobre a esfera as curvas coordenadas obtidas fixando u=pi4 e v=pi6, respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá uma lâmina esférica parametrizada por vec r(u,v)=(acos ucos v,;asin ucos v,;asin v) com a=4 e pede as curvas coordenadas ao fixar u=pi/4 e v=pi/6. O conteúdo envolvido é parametrização de superfícies e extração de curvas de nível, ou seja, curvas obtidas ao manter um parâmetro constante.

Passo 2

Para a curva obtida fixando u=pi/4, substituímos na parametrização e obtemos
vec r(v)=l(4cos(tfracpi4)cos v,;4sin(tfracpi4)cos v,;4sin vr)
Sabendo que cos(tfracpi4)=sin(tfracpi4)=tfracraiz22, simplificamos para
vec r(v)=l(2raiz2cos v,;2raiz2cos v,;4sin vr), vinl[-tfracpi2,tfracpi2r]

Passo 3

Para a curva obtida fixando v=pi/6, substituímos na parametrização e obtemos
vec r(u)=l(4cos ucos(tfracpi6),;4sin ucos(tfracpi6),;4sin(tfracpi6)r)
Usando cos(tfracpi6)=tfracraiz32 e sin(tfracpi6)=tfrac12, simplificamos para
vec r(u)=l(2raiz3cos u,;2raiz3sin u,;2r), uin[0,2pi]

Resposta

Curva 1 (meridiano, u=pi/4):
r(v)=(2raiz2cos v,;2raiz2cos v,;4sin v), vinl[-tfracpi2,tfracpi2r]
Curva 2 (paralelo, v=pi/6):
r(u)=(2raiz3cos u,;2raiz3sin u,;2), uin[0,2pi]

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