Fatore as seguintes expressões quadráticas
x^2-2 x+3 e x^2-3 x-40

Passo 1

O enunciado pede para fatorar as expressões quadráticas x^2-2x+3 e x^2-3x-40. O conteúdo principal é fatoração de polinômios de segundo grau, e vamos usar a fórmula do discriminante ( De) para identificar as raízes e, a partir delas, escrever o polinômio como produto de fatores lineares.

Passo 2

Para x^2-2x+3, identificamos a=1, b=-2, c=3. Calculamos o discriminante:
De

Passo 3

Como De, não há raízes reais e o trinômio é irreduzível em R[x]. Se quisermos a fatoração em C[x], usamos as raízes complexas
x = 2 pm raiz-82 = 1 pm iraiz2, portanto
(x - (1 + iraiz2))(x - (1 - iraiz2))

Passo 4

Para x^2-3x-40, temos a=1, b=-3, c=-40. Calculando o discriminante:
De

Passo 5

Como De0, existem duas raízes reais:
x = 3 pm raiz1692 = 3 pm 132 implies x1=8,;x2=-5 A fatoração em R[x] fica:
(x - 8)(x + 5)

Resposta

x^2-2x+3 é irreduzível em R[x] (fatores em C[x]: (x - (1 + iraiz2))(x - (1 - iraiz2))), e x^2-3x-40 = (x - 8)(x + 5).

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