Fatore os seguintes polinômios, utilizando o Teorema de D’alembert
3 x^2+9 x-12, sabendo que 1 é uma raiz desse polinômio.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
3x^2 + 9x - 12
sabendo que 1 é raiz. O conteúdo é fatoração de polinômios via Teorema de D’Alembert (ou Regra de Ruffini), que diz que se a é raiz de P(x) então (x - a) é fator de P(x). Vamos verificar que x=1 é raiz e depois fazer a divisão sintética para obter o outro fator.

Passo 2

Verificamos que 1 é raiz calculando
P(1) = 3cdot1^2 + 9cdot1 - 12 = 3 + 9 - 12 = 0
Como P(1)=0, concluímos que (x-1) é um fator de P(x).

Passo 3

Vamos dividir o polinômio por usando divisão sintética. Colocamos os coeficientes e o valor da raiz :
O último zero confirma o resto nulo. O quociente obtido é o polinômio .

Passo 4

Agora fatoramos o quociente:
3x + 12 = 3(x + 4)
Logo, juntando tudo, temos
3x^2 + 9x - 12 = (x - 1)l(3x + 12r) = 3,(x-1)(x+4)

Resposta

3x^2 + 9x - 12 = 3,(x - 1),(x + 4)

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