Fatores os Polinômio abaixo:
-5 x^{2} y^{3}+10 x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio dado. As informações concretas que temos são:
  • O polinômio é -5 x^{2} y^{3}+10 x y^{2}.
  • As variáveis envolvidas são x e y.
  • Queremos escrever a expressão como um produto de fatores (tirar o máximo fator comum e, se possível, outros fatores).

Passo 2

Identificar o fator numérico comum entre os coeficientes. Os coeficientes são -5 e 10. O máximo divisor comum (MDC) em valor absoluto é:
\gcd(|-5|,|10|)=\gcd(5,10)=5.
Portanto o fator numérico comum é 5. Note que podemos escolher fatorar com sinal +5 ou com sinal -5; é comum tirar o sinal que deixa o primeiro fator dentro do parêntesis com coeficiente positivo (vou mostrar as duas opções depois).

Passo 3

Identificar o fator literal comum (variáveis). Olhamos as potências de x e y em cada termo:
  • No termo -5 x^{2} y^{3} as potências são x^{2} e y^{3}.
  • No termo 10 x y^{2} as potências são x^{1} e y^{2}.
Para obter o fator literal comum tomamos, para cada variável, a menor potência que aparece nos termos:
  • para x: o menor expoente é 1, então x^{1} (ou simplesmente x) é comum;
  • para y: o menor expoente é 2, então y^{2} é comum.
Assim o fator literal comum é x y^{2}.

Passo 4

Combinar fator numérico e literal para obter o maior fator comum monomial. Multiplicando o numérico pelo literal:
5 \cdot x y^{2} = 5 x y^{2}.
Esse é o maior fator comum em valor absoluto. Podemos optar por fatorar 5 x y^{2} ou -5 x y^{2}. Vou primeiro fatorar com -5 x y^{2} porque assim o primeiro termo dentro do parêntesis fica positivo (fica mais comum em livros e provas).

Passo 5

Fatorando -5 x y^{2} do polinômio. Escrevemos
-5 x^{2} y^{3}+10 x y^{2} = -5 x y^{2}\,\bigl(\,?\bigr).
Para encontrar o que fica dentro do parêntesis dividimos cada termo original por -5 x y^{2}:
Para o primeiro termo:
\frac{-5 x^{2} y^{3}}{-5 x y^{2}} = \frac{-5}{-5}\cdot \frac{x^{2}}{x}\cdot \frac{y^{3}}{y^{2}} = 1\cdot x^{1}\cdot y^{1} = x y.
Para o segundo termo:
\frac{10 x y^{2}}{-5 x y^{2}} = \frac{10}{-5}\cdot \frac{x}{x}\cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} = -2\cdot 1\cdot 1 = -2.
Portanto o que fica no parêntesis é (x y - 2), e obtemos
-5 x^{2} y^{3}+10 x y^{2} = -5 x y^{2}\,(x y - 2).

Passo 6

Verificação rápida por distribuição (para garantir que a fatoração está correta). Multiplicando:
-5 x y^{2}\cdot (x y - 2) = -5 x y^{2}\cdot x y + (-5 x y^{2})\cdot(-2).
Calculando cada produto:
-5 x y^{2}\cdot x y = -5 x^{2} y^{3}, \qquad (-5 x y^{2})\cdot(-2) = 10 x y^{2}.
Somando esses dois termos volta-se ao polinômio original, logo a fatoração está correta.

Passo 7

Dica rápida para a prova (prática): sempre comece procurando o maior fator comum em valor absoluto dos coeficientes e o menor expoente de cada variável. Se quiser, pode tirar o sinal negativo junto com o fator (como fiz aqui) para que o primeiro termo dentro do parêntesis fique positivo — isso costuma facilitar a leitura. Exemplo rápido: fatorando 6x^{3}y^{2}+9x^{2}y o fator comum seria 3x^{2}y, e o resultado seria 3x^{2}y(2x+3).

Resposta

-5 x y^{2}\,(x y - 2)

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