Fatores os Polinômio abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio dado. As informações concretas que temos são:
- O polinômio é
. - As variáveis envolvidas são
e . - Queremos escrever a expressão como um produto de fatores (tirar o máximo fator comum e, se possível, outros fatores).
Passo 2
Identificar o fator numérico comum entre os coeficientes. Os coeficientes são
e
. O máximo divisor comum (MDC) em valor absoluto é:
Portanto o fator numérico comum é
. Note que podemos escolher fatorar com sinal
ou com sinal
; é comum tirar o sinal que deixa o primeiro fator dentro do parêntesis com coeficiente positivo (vou mostrar as duas opções depois).
Passo 3
Identificar o fator literal comum (variáveis). Olhamos as potências de
e
em cada termo:
- No termo
as potências são e . - No termo
as potências são e .
Para obter o fator literal comum tomamos, para cada variável, a menor potência que aparece nos termos:
- para
: o menor expoente é , então (ou simplesmente ) é comum; - para
: o menor expoente é , então é comum.
Assim o fator literal comum é
.
Passo 4
Combinar fator numérico e literal para obter o maior fator comum monomial. Multiplicando o numérico pelo literal:
Esse é o maior fator comum em valor absoluto. Podemos optar por fatorar
ou
. Vou primeiro fatorar com
porque assim o primeiro termo dentro do parêntesis fica positivo (fica mais comum em livros e provas).
Passo 5
Fatorando
do polinômio. Escrevemos
Para encontrar o que fica dentro do parêntesis dividimos cada termo original por
:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Portanto o que fica no parêntesis é
, e obtemos
Passo 6
Verificação rápida por distribuição (para garantir que a fatoração está correta). Multiplicando:
Calculando cada produto:
Somando esses dois termos volta-se ao polinômio original, logo a fatoração está correta.
Passo 7
Dica rápida para a prova (prática): sempre comece procurando o maior fator comum em valor absoluto dos coeficientes e o menor expoente de cada variável. Se quiser, pode tirar o sinal negativo junto com o fator (como fiz aqui) para que o primeiro termo dentro do parêntesis fique positivo — isso costuma facilitar a leitura. Exemplo rápido: fatorando
o fator comum seria
, e o resultado seria
.