Fatores os Polinômio abaixo:
24 m n^{2}-36 m^{2} n

Passo 1

O enunciado dá o polinômio abaixo e pede para fatorá‑lo completamente:
24 m n^{2}-36 m^{2} n.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Os termos do polinômio são \;24 m n^{2}\; e \;-36 m^{2} n\;.
  • O que se pede é escrever esse polinômio como produto de fatores (ou seja, extrair fatores comuns e reduzir).

Passo 2

Ideia básica (explicação didática do que vamos usar): quando dois termos têm fatores em comum, podemos “fatorar” tirando esse fator comum em evidência. O fator comum é formado por:
  • o maior número que divide ambos os coeficientes (o máximo divisor comum dos coeficientes);
  • e por cada variável elevada à menor potência que aparece nos dois termos.
Vou aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Encontrar o máximo divisor comum (MDC) dos coeficientes 24 e 36.
Fatorando em primos:
24 = 2^{3}\cdot 3,\qquad 36 = 2^{2}\cdot 3^{2}.
O MDC pega as menores potências de cada primo comuns a ambos:
\gcd(24,36)=2^{2}\cdot 3 = 4\cdot 3 = 12.
Portanto o componente numérico do fator comum é \;12\;.

Passo 4

Determinar as variáveis em comum e suas potências mínimas.
Os termos são \;24 m n^{2}\; e \;-36 m^{2} n\;.
  • Para a variável m: aparece em potências m^{1} e m^{2}; a menor potência é m^{1}. Logo o fator comum inclui m.
  • Para a variável n: aparece em potências n^{2} e n^{1}; a menor potência é n^{1}. Logo o fator comum inclui n.
Assim o fator comum completo é \;12 m n\;.

Passo 5

Agora dividimos cada termo pelo fator comum \;12 m n\; para escrever a fatoração.
Dividindo o primeiro termo:
\frac{24 m n^{2}}{12 m n} = \frac{24}{12}\cdot \frac{m}{m}\cdot \frac{n^{2}}{n} = 2\cdot 1\cdot n = 2n.
Dividindo o segundo termo:
\frac{-36 m^{2} n}{12 m n} = -\frac{36}{12}\cdot \frac{m^{2}}{m}\cdot \frac{n}{n} = -3\cdot m\cdot 1 = -3m.
Portanto, colocando o fator em evidência:
24 m n^{2}-36 m^{2} n = 12 m n\,(2n-3m).

Passo 6

Verificação rápida (só para ter certeza): se multiplicarmos de volta,
12 m n\cdot 2n = 24 m n^{2},\qquad 12 m n\cdot (-3m) = -36 m^{2} n,
que reproduzem exatamente os termos originais. Está correto.

Passo 7

Observação sobre formas equivalentes: também é válido escrever a fatoração tirando um sinal negativo comum:
24 m n^{2}-36 m^{2} n = -12 m n\,(3m-2n).
Ambas as formas são equivalentes; a escolha entre elas é só convenção de sinal.

Resposta

12 m n(2n-3m)

Exercícios relacionados