Fatores os Polinômio abaixo:
Passo 1
O enunciado dá o polinômio abaixo e pede para fatorá‑lo completamente:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Os termos do polinômio são
e . - O que se pede é escrever esse polinômio como produto de fatores (ou seja, extrair fatores comuns e reduzir).
Passo 2
Ideia básica (explicação didática do que vamos usar): quando dois termos têm fatores em comum, podemos “fatorar” tirando esse fator comum em evidência. O fator comum é formado por:
- o maior número que divide ambos os coeficientes (o máximo divisor comum dos coeficientes);
- e por cada variável elevada à menor potência que aparece nos dois termos.
Vou aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Encontrar o máximo divisor comum (MDC) dos coeficientes
e
.
Fatorando em primos:
O MDC pega as menores potências de cada primo comuns a ambos:
Portanto o componente numérico do fator comum é
.
Passo 4
Determinar as variáveis em comum e suas potências mínimas.
Os termos são
e
.
- Para a variável
: aparece em potências e ; a menor potência é . Logo o fator comum inclui . - Para a variável
: aparece em potências e ; a menor potência é . Logo o fator comum inclui .
Assim o fator comum completo é
Passo 5
Agora dividimos cada termo pelo fator comum
para escrever a fatoração.
Dividindo o primeiro termo:
Dividindo o segundo termo:
Portanto, colocando o fator em evidência:
Passo 6
Verificação rápida (só para ter certeza): se multiplicarmos de volta,
que reproduzem exatamente os termos originais. Está correto.
Passo 7
Observação sobre formas equivalentes: também é válido escrever a fatoração tirando um sinal negativo comum:
Ambas as formas são equivalentes; a escolha entre elas é só convenção de sinal.