Fatores os Polinômio abaixo:
-4 x y^{2}+8 x^{2} y

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio dado. Os dados relevantes são:
  • Polinômio: -4 x y^{2}+8 x^{2} y.
  • São dois termos: primeiro termo -4 x y^{2} e segundo termo 8 x^{2} y.
  • Coeficientes numéricos: -4 e 8.
  • Potências das variáveis em cada termo:
    • No primeiro termo: x^{1} e y^{2}.
    • No segundo termo: x^{2} e y^{1}.
      A tarefa é escrever esse polinômio como produto de fatores (ou seja, fatorar).

Passo 2

Procurar o fator numérico comum (máximo divisor comum dos coeficientes).
  • Coeficientes: -4 e 8.
  • O máximo divisor comum em valor absoluto é 4, pois 4 divide 4 e 8, e não existe número inteiro maior que 4 que divida ambos.
    Portanto podemos extrair o fator numérico 4. Observação sobre o sinal: escolhemos extrair 4 (positivo) e manter o sinal negativo dentro dos quocientes quando aparecer.

Passo 3

Procurar o fator literal comum (variáveis e menores expoentes).
  • Para x: os expoentes são 1 (no primeiro termo) e 2 (no segundo termo). O menor expoente é 1, então x^{1} (escrito simplesmente x) é comum.
  • Para y: os expoentes são 2 (no primeiro termo) e 1 (no segundo termo). O menor expoente é 1, então y^{1} (escrito y) é comum.
    Logo o fator literal comum é x y.

Passo 4

Extrair o fator comum numérico e literal: 4 x y.
Calcular o quociente de cada termo pelo fator 4 x y:
  • Para o primeiro termo: \frac{-4 x y^{2}}{4 x y} = \frac{-4}{4}\cdot\frac{x}{x}\cdot\frac{y^{2}}{y} = -1\cdot 1\cdot y = -y.
  • Para o segundo termo: \frac{8 x^{2} y}{4 x y} = \frac{8}{4}\cdot\frac{x^{2}}{x}\cdot\frac{y}{y} = 2\cdot x\cdot 1 = 2x.

Passo 5

Escrever o polinômio como produto do fator comum pelo polinômio formado pelos quocientes:
-4 x y^{2}+8 x^{2} y = 4 x y\bigl(-y + 2x\bigr).
É costume reescrever o parêntese em ordem mais convencional colocando o termo com x primeiro:
4 x y\bigl(2x - y\bigr).

Passo 6

Verificação rápida (distribuição) para conferir que a fatoração está correta:
4 x y\bigl(2x - y\bigr) = 4 x y\cdot 2x - 4 x y\cdot y = 8 x^{2} y - 4 x y^{2},
o que é exatamente o polinômio original (ordem dos termos trocada). Alternativa de escrita equivalente: -4 x y\bigl(y - 2x\bigr).
Dica final: para qualquer polinômio, sempre comece procurando o maior fator numérico comum e as menores potências de cada variável entre os termos.

Resposta

4 x y(2x - y)

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