Fatorize a expressão: x^{2}-5 x+6.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar a expressão x^{2}-5x+6.
Informações dadas:
  • A expressão é o polinômio quadrático x^{2}-5x+6.
  • Não há outras restrições ou condições.

Passo 2

Vamos reconhecer a forma geral de um quadrático monico (coeficiente de x^{2} igual a 1). A forma geral é
x^{2}+bx+c,
onde b é o coeficiente de x e c é o termo constante.

Passo 3

Explicando a ideia de fatoração para essa forma: se conseguirmos dois números p e q tais que
p+q=b\qquad\text{e}\qquad p\cdot q=c,
então podemos escrever
x^{2}+bx+c=(x+p)(x+q).
Isto vem de expandir (x+p)(x+q)=x^{2}+(p+q)x+p q.

Passo 4

Identificamos os coeficientes do polinômio dado:
b=-5,\qquad c=6.

Passo 5

Procuramos dois números p e q com produto 6 e soma -5. Liste os pares de fatores inteiros de 6 e suas somas:
1\cdot 6=6,\quad 1+6=7;
(-1)\cdot(-6)=6,\quad (-1)+(-6)=-7;
2\cdot 3=6,\quad 2+3=5;
(-2)\cdot(-3)=6,\quad (-2)+(-3)=-5.
O par que dá soma -5 e produto 6 é p=-2 e q=-3.

Passo 6

Usando p=-2 e q=-3, a fatoração é
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 7

Verificação rápida expandindo para conferir:
(x-2)(x-3)=x^{2}-3x-2x+6=x^{2}-5x+6,
que é exatamente o polinômio inicial. Assim a fatoração está correta.

Passo 8

(Comentário opcional de cheque) Pelas raízes da equação x^{2}-5x+6=0 — aplicando a fórmula quadrática com a=1, b=-5, c=6 — obtém-se \Delta=b^{2}-4ac=25-24=1 e as raízes são
x=\frac{5\pm1}{2}\in\{3,2\},
o que confirma fatores lineares (x-3) e (x-2).

Resposta

(x-2)(x-3)

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