Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=6 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\ x+2 y-z=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três incógnitas x, y e z e pede que encontremos os valores dessas incógnitas:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=6 \\[4pt] 2x-y+z=3 \\[4pt] x+2y-z=2 \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • As três equações acima são todas as condições do problema.
  • Queremos encontrar os números \;x,\;y,\;z\; que satisfazem simultaneamente as três equações.]

Passo 2

Vou usar o método de eliminação (eliminação de Gauss) para transformar o sistema em um triangular e depois aplicar substituição regressiva. Antes de calcular, uma mini-aula sobre operações permitidas (essas são as ferramentas do “canivete suíço” da resolução):
  • Pode-se somar a uma equação um múltiplo de outra equação.
  • Pode-se multiplicar uma equação por um escalar não nulo.
  • Pode-se trocar a ordem das equações.
    Essas operações preservam o conjunto de soluções. O objetivo é eliminar incógnitas progressivamente para obter equações mais simples.

Passo 3

Escrevendo o sistema e eliminando x das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Equação 1 (E1): \;x+y+z=6.
Equação 2 (E2): \;2x-y+z=3.
Equação 3 (E3): \;x+2y-z=2.
Para anular x em E2, faço \text{E2} \leftarrow \text{E2} - 2\cdot\text{E1}. Calculando termos:
  • Coeficientes: 2x - 2\cdot x = 0 (eliminei x).
  • Para y: -y - 2\cdot y = -3y.
  • Para z: z - 2\cdot z = -z.
  • Lado direito: 3 - 2\cdot 6 = 3 - 12 = -9.
Logo a nova E2 é
-3y - z = -9.
Para anular x em E3, faço \text{E3} \leftarrow \text{E3} - 1\cdot\text{E1}. Calculando:
  • Coeficientes: x - x = 0.
  • Para y: 2y - 1\cdot y = y.
  • Para z: -z - 1\cdot z = -2z.
  • Lado direito: 2 - 6 = -4.
Logo a nova E3 é
y - 2z = -4.
Agora temos o sistema equivalente (com x eliminado nas duas últimas equações):
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=6 \\[4pt] -3y - z = -9 \\[4pt] y - 2z = -4 \end{array}\right.]

Passo 4

Agora elimino y entre as duas últimas equações para obter uma equação só em z.
Temos:
\text{(nova E2)}:\;-3y - z = -9, \qquad \text{(nova E3)}:\; y - 2z = -4.
Multiplico a nova E3 por 3 para que o coeficiente de y fique 3 e então somo com a nova E2:
3\cdot(\text{E3}):\; 3y - 6z = -12.
Agora somo com E2:
(3y - 6z) + (-3y - z) = -12 + (-9).
No lado esquerdo 3y-3y=0 e -6z - z = -7z. No direito -12 - 9 = -21. Então obtemos
-7z = -21.
Dividindo por -7:
z = 3.

Passo 5

Com z=3, faço substituição regressiva para encontrar y e depois x.
Usando a equação \;y - 2z = -4:
y - 2\cdot 3 = -4 \quad\Rightarrow\quad y - 6 = -4 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Agora uso a primeira equação \;x + y + z = 6:
x + 2 + 3 = 6 \quad\Rightarrow\quad x + 5 = 6 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Então a solução candidata é \;x=1,\;y=2,\;z=3.

Passo 6

Vamos checar rapidamente substituindo na segunda e terceira equações originais para garantir que não houve erro:
Verificar E2 original \;2x - y + z = 3:
2\cdot 1 - 2 + 3 = 2 - 2 + 3 = 3 \quad\checkmark
Verificar E3 original \;x + 2y - z = 2:
1 + 2\cdot 2 - 3 = 1 + 4 - 3 = 2 \quad\checkmark
Tudo bate — solução correta e única.

Resposta

x=1
y=2
z=3

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