Um retângulo é formado utilizando um arame de comprimento total igual a
.
(a) Determine a função que descreve a área do retângulo em função de uma de suas dimensões.
(b) Calcule a área quando o retângulo for um quadrado.
(a) Determine a função que descreve a área do retângulo em função de uma de suas dimensões.
(b) Calcule a área quando o retângulo for um quadrado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação dada: um arame de comprimento total igual a
é usado para formar o perímetro de um retângulo. - Perguntas:
(a) Determinar a função que descreve a área do retângulo em função de uma de suas dimensões.
(b) Calcular a área quando o retângulo for um quadrado.
Passo 2
Definindo variáveis (sempre explicar o que cada símbolo significa):
- Seja
uma das dimensões do retângulo (em metros). Por exemplo, pense em como a largura. - Seja
a outra dimensão do retângulo (em metros). Por exemplo, é o comprimento. - A área do retângulo é a função de
e dada por . Aqui tem unidade metros quadrados ( ).
Passo 3
Relacionando as dimensões com o comprimento do arame (perímetro):
- O perímetro
de um retângulo com lados e é . Isso vem da soma dos quatro lados: dois de comprimento e dois de comprimento . - Como o arame tem comprimento total
, tem-se
- Isolando
,
Essa é a relação entre as dimensões imposta pelo arame.
Passo 4
Escrevendo a área como função de uma única variável (
):
- Substitui-se
na fórmula da área :
- Desenvolvendo a expressão (fazer as contas passo a passo):
- Interpretação:
é um polinômio quadrático em . Aqui os coeficientes são (do termo ) e (do termo ). - Domínio físico: como
e são comprimentos positivos, exige-se e . Usando isso dá . Nas extremidades ou a área é zero (casos degenerados).
Passo 5
Observação útil (conceito extra, muito usado em provas): máximos de quadráticas
- Para uma quadrática da forma
com , o vértice (onde ocorre máximo se ou mínimo se ) ocorre em
- No nosso caso
, portanto e . O valor de que dá a área máxima é
- Note que quando o retângulo é quadrado tem-se
. Usando a relação do perímetro com dá e portanto . Assim o caso quadrado coincide com o vértice da parábola: o quadrado dá a área máxima para um perímetro fixo — é uma propriedade clássica.
Passo 6
Calcular a área quando o retângulo for um quadrado:
- Quando é quadrado, cada lado vale
. - A área é
. Calculando:
- Em forma decimal isso é
.