Um retângulo é formado utilizando um arame de comprimento total igual a 3 m.
(a) Determine a função que descreve a área do retângulo em função de uma de suas dimensões.
(b) Calcule a área quando o retângulo for um quadrado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação dada: um arame de comprimento total igual a \,3\\ \text{m}\, é usado para formar o perímetro de um retângulo.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a função que descreve a área do retângulo em função de uma de suas dimensões.
    (b) Calcular a área quando o retângulo for um quadrado.

Passo 2

Definindo variáveis (sempre explicar o que cada símbolo significa):
  • Seja \,x uma das dimensões do retângulo (em metros). Por exemplo, pense em \,x como a largura.
  • Seja \,y a outra dimensão do retângulo (em metros). Por exemplo, \,y é o comprimento.
  • A área do retângulo é a função de \,x e \,y dada por \,A = x\cdot y. Aqui \,A tem unidade metros quadrados ( \text{m}^2).

Passo 3

Relacionando as dimensões com o comprimento do arame (perímetro):
  • O perímetro P de um retângulo com lados \,x e \,y é \,P=2(x+y). Isso vem da soma dos quatro lados: dois de comprimento x e dois de comprimento y.
  • Como o arame tem comprimento total \,3\\ \text{m}, tem-se
2(x+y)=3.
  • Isolando \,y,
y=\frac{3}{2}-x.
Essa é a relação entre as dimensões imposta pelo arame.

Passo 4

Escrevendo a área como função de uma única variável ( x):
  • Substitui-se \,y na fórmula da área \,A=x\cdot y:
A(x)=x\left(\frac{3}{2}-x\right).
  • Desenvolvendo a expressão (fazer as contas passo a passo):
A(x)=\frac{3}{2}x - x^{2}.
  • Interpretação: \,A(x) é um polinômio quadrático em \,x. Aqui os coeficientes são a=-1 (do termo x^{2}) e b=\tfrac{3}{2} (do termo x).
  • Domínio físico: como x e y são comprimentos positivos, exige-se x>0 e y>0. Usando y=\tfrac{3}{2}-x isso dá 0<x<\tfrac{3}{2}. Nas extremidades x=0 ou x=\tfrac{3}{2} a área é zero (casos degenerados).

Passo 5

Observação útil (conceito extra, muito usado em provas): máximos de quadráticas
  • Para uma quadrática da forma \,A(x)=ax^{2}+bx+c com a\neq0, o vértice (onde ocorre máximo se a<0 ou mínimo se a>0) ocorre em
x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a}.
  • No nosso caso A(x)=-x^{2}+\tfrac{3}{2}x, portanto a=-1 e b=\tfrac{3}{2}. O valor de x que dá a área máxima é
x_{\text{v}}=-\frac{\tfrac{3}{2}}{2(-1)}=\frac{3}{4}.
  • Note que quando o retângulo é quadrado tem-se x=y. Usando a relação do perímetro 2(x+y)=3 com x=y 4x=3 e portanto x=\tfrac{3}{4}. Assim o caso quadrado coincide com o vértice da parábola: o quadrado dá a área máxima para um perímetro fixo — é uma propriedade clássica.

Passo 6

Calcular a área quando o retângulo for um quadrado:
  • Quando é quadrado, cada lado vale \,x=\tfrac{3}{4}\\ \text{m}.
  • A área é A=x^{2}. Calculando:
A=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}\\ \text{m}^{2}.
  • Em forma decimal isso é \,0,5625\\ \text{m}^{2}.

Resposta

A(x)=\dfrac{3}{2}x - x^{2},\quad 0<x<\dfrac{3}{2}
A_{\text{quadrado}}=\dfrac{9}{16}\\ \text{m}^{2}

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