Um fazendeiro está estudando a divisão da sua propriedade nas seguintes áreas produtivas:
(a) Arredamento: Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00\ por alqueire por ano;
(b) Pecuária: Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação ( ) e irrigação ( 100.0001 / alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00\ por alqueiro por ano;
(c) Soja: essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.0001 de água por alqueire para irrigação por ano. O lucro estimado é de $ 500,00\ por alqueire por ano.
Os seguintes recursos estão disponíveis:
(a) 12.750 .000 litros de água
(b) 14.000 kg de adubo
(c) 100 alqueires de terra.
Quantos alqueires deverão ser destinados a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo.

Passo 1

Resumindo, temos três usos possíveis para os 100 alqueires de terra do fazendeiro:
– Cana-de-açúcar (aluguel de $ 300 por alqueire/ano), sem consumo de água ou adubo por parte do fazendeiro;
– Pecuária (lucro de $ 400 por alqueire/ano), consumindo 100 kg de adubo e 100000 L de água por alqueire;
– Soja (lucro de $ 500 por alqueire/ano), consumindo 200 kg de adubo e 200000 L de água por alqueire.
Os recursos limitantes são 100 alqueires de terra, 14000 kg de adubo e 12750000 L de água. O conteúdo é Programação Linear: definir variáveis, função objetivo e restrições.

Passo 2

Definimos as variáveis
x1 = alqueires para cana, x2 = alqueires para pecuária, x3 = alqueires para soja á
Queremos maximizar a receita anual total.

Passo 3

A função objetivo (receita) é
max Z = 300,x1 + 400,x2 + 500,x3

Passo 4

As restrições vêm dos recursos disponíveis:
(terra) & x1 + x2 + x3 <= 100, (adubo) & 100,x2 + 200,x3 <= 14,000, (água) & 100,000,x2 + 200,000,x3 <= 12,750,000, não-negatividade& x1,x2,x3>=0 áã

Passo 5

Podemos simplificar as duas últimas restrições dividindo constantes:
x2 + 2,x3 <= 140 &(adubo), x2 + 2,x3 <= 127,5 &(água) á
Como a de água é mais restritiva, a de adubo fica redundante. Logo basta
x2 + 2,x3 <= 127,5

Passo 6

Resolvendo graficamente (ou por canto extremo), notamos que não vale a pena usar
obtemos , dando

Passo 7

O ponto ótimo é (x1,x2,x3)=(0,,72,5,,27,5) com receita Z=42,750.

Resposta

x1=0 alqueires para cana, x2=72,5 alqueires para pecuária e x3=27,5 alqueires para soja.

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