Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados, MR1 e MR2, com as composições de Ferro 60%, Carvão 20%, Silício e Ferro , Carvão , Silício , Níquel , respectivamente. A liga deve ter a seguinte composição final: Ferro Carvão Silício e Níquel . O custo dos materiais são (por kg): $0,30\ - Ferro, $ 0,20\ - carvão, $0,28\ - silício, $ 0,28\ - níquel, $0,20\ - MR1, $ 0,25\ - MR2. Construa um modelo que minimize os custos.

Passo 1

O enunciado pede o modelo de programação linear para minimizar o custo de um “blending” de seis fontes: ferro puro, carvão puro, silício puro, níquel puro, MR 1 e MR 2. O conteúdo é formulação de um problema de mistura (blending) com restrições de composição percentual final em ferro, carvão, silício e níquel.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão, em kg:
x1 = quantidade de ferro puro
x2 = quantidade de carvão puro
x3 = quantidade de silício puro
x4 = quantidade de níquel puro
y1 = quantidade de MR 1 y2 = quantidade de MR 2
E denotamos o total de liga produzida
M = x1 + x2 + x3 + x4 + y1 + y2

Passo 3

O custo total a minimizar, em reais, é
min;Z = 0,30,x1 + 0,20,x2 + 0,28,x3 + 0,28,x4 + 0,20,y1 + 0,25,y2

Passo 4

Colocamos as restrições de composição final. Para cada componente kinFe,C,Si,Ni impomos
pk^min M ;<=; massa de k nas fontes ;<=; pk^max M,
onde os pk vêm do enunciado:
1. Ferro (60%<=Fe<=65%):
0,60,M ;<=; x1 + 0,60,y1 + 0,70,y2 ;<=; 0,65,M
2. Carvão (15%<=C<=20%):
0,15,M ;<=; x2 + 0,20,y1 + 0,20,y2 ;<=; 0,20,M
3. Silício (15%<=Si<=20%):
0,15,M ;<=; x3 + 0,20,y1 + 0,05,y2 ;<=; 0,20,M
4. Níquel (5%<=Ni<=8%):
0,05,M ;<=; x4 + 0cdot y1 + 0,05,y2 ;<=; 0,08,M

Passo 5

Incluímos também a definição de M e a não negatividade:
M = x1 + x2 + x3 + x4 + y1 + y2,
xi >= 0, yj >= 0 (forall i=1dots4,;j=1,2)

Resposta

Variáveis: x1,x2,x3,x4,y1,y2>=0.
Definição do total:
M = x1 + x2 + x3 + x4 + y1 + y2
Objetivo:
min;Z = 0,30,x1 + 0,20,x2 + 0,28,x3 + 0,28,x4 + 0,20,y1 + 0,25,y2
Restrições de composição:
0,60,M <= x1 + 0,60,y1 + 0,70,y2 <= 0,65,M,
0,15,M <= x2 + 0,20,y1 + 0,20,y2 <= 0,20,M,
0,15,M <= x3 + 0,20,y1 + 0,05,y2 <= 0,20,M,
0,05,M <= x4 + 0cdot y1 + 0,05,y2 <= 0,08,M
Não negatividade:
xi >=0,;yj>=0

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