Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 2 para fabricar 1 cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 e do cinto 2, pede-se que maximize-se o lucro por hora .

Passo 1

O enunciado pede para maximizar o lucro por hora de um sapateiro que pode fabricar sapatos e cintos usando couro e tempo disponíveis. O conteúdo é Programação Linear em duas variáveis, e vamos precisar:
  1. definir as variáveis de decisão;
  2. montar a função objetivo (lucro);
  3. montar as restrições de combustível (couro) e de tempo;
  4. resolver graficamente ou por comparação de vértices.

Passo 2

Definimos
x = número de sapatos por hora, y = número de cintos por hora úú
O lucro unitário é 5 por sapato e 2 por cinto, logo a função objetivo é
Maximize Z = 5x + 2y

Passo 3

As restrições são:
– Couro: cada sapato consome 2 unidades e cada cinto consome 2 unidades, com total de 6 unidades,
2x + 2y <= 6
– Tempo: para fazer um sapato gasta 1/6 de hora e para um cinto 1/5 de hora, dispondo-se de 1 hora,
x6 + y5 <= 1
E não podemos ter quantidades negativas:
x >= 0, y >= 0

Passo 4

Simplificamos as restrições:
2x + 2y <= 6 Longrightarrow x + y <= 3,
x6 + y5 <= 1 Longrightarrow 5x + 6y <= 30
No primeiro quadrante, a reta x+y=3 já fica sempre “antes” de 5x+6y=30, então a região viável é o triângulo com vértices
(0,0), (3,0) e (0,3).

Passo 5

Calculamos o lucro Z=5x+2y em cada vértice:
– Em (0,0): Z=0.
– Em (3,0): Z=5cdot3 + 2cdot0 = 15.
– Em (0,3): Z=5cdot0 + 2cdot3 = 6.
O maior valor é 15 em (x,y)=(3,0).

Resposta

O lucro máximo por hora é 15, obtido fabricando 3 sapatos e 0 cintos.

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