Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz real no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação $ x^{3} - x - 1 = 0 $ tem pelo menos uma raiz real no intervalo (1, 2). Vamos precisar entender o que é esse teorema e como aplicá-lo para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função $ f(x) $ é contínua em um intervalo fechado
e se $ f(a) $ e $ f(b) $ têm sinais opostos (ou seja, um é positivo e o outro é negativo), então existe pelo menos um número $ c $ no intervalo
tal que $ f© = 0 $. Ou seja, a função passa por zero nesse intervalo.
Passo 3
Vamos identificar nossa função: $ f(x) = x^{3} - x - 1 $. Agora, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo [1, 2]. Funções polinomiais, como essa, são contínuas em todo o seu domínio, então estamos tranquilos nessa parte.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor de $ f(x) $ nos extremos do intervalo:
-
Quando $ x = 1 $:
-
Quando $ x = 2 $:
Vimos que $ f(1) = -1 $ e $ f(2) = 5 $. Um é negativo e o outro é positivo, ou seja, os sinais são opostos.
Passo 5
Como a função $ f(x) $ é contínua no intervalo [1, 2] e $ f(1) $ e $ f(2) $ têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um número $ c $ no intervalo (1, 2) tal que $ f© = 0 $.
Resposta
Portanto, a equação $ x^{3} - x - 1 = 0 $ tem pelo menos uma raiz real no intervalo (1, 2).