Fazendo a interseção do Hiperboloide de 1 folha -\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{25}=1 com o plano y=4, obtemos:
Escolha uma opção:
a. Uma hipérbole de equação \frac{x^{2}}{27}-\frac{z^{2}}{75}=1
b. Retas concorrentes de equação: X=(0,0,-5)+t\left(1, \pm \frac{4}{3}, 0\right)
c. Uma elipse de equação \frac{y^{2}}{32}+\frac{z^{2}}{50}=1
d. Uma hipérbole de equação \frac{x^{2}}{27}-\frac{y^{2}}{48}=1
e. Retas concorrentes de equação: X=(0,4,0)+t\left(1,0, \pm \frac{5}{3}\right)
f. Uma elipse de equação \frac{y^{2}}{48}+\frac{z^{2}}{75}=1

Passo 1

O enunciado pede a interseção do hiperboloide de uma folha
-\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{25}=1
com o plano y=4. O conteúdo aqui é seccionamento de quádricas: basta substituir y=4 na equação do hiperboloide e identificar a curva resultante.

Passo 2

Substituindo y=4 na equação do hiperboloide, temos
-\frac{x^{2}}{9}+\frac{4^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{25}=1.
Como \frac{4^{2}}{16}=1, isso simplifica para
-\frac{x^{2}}{9}+1+\frac{z^{2}}{25}=1.

Passo 3

Cancelamos o 1 dos dois lados, obtendo
-\frac{x^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{25}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{z^{2}}{25}=\frac{x^{2}}{9}.
Isso é uma equação degenerate que representa duas retas concorrentes.

Passo 4

Para parametrize as retas, definimos x=t. Então
\frac{z^{2}}{25}=\frac{t^{2}}{9} \quad\Longrightarrow\quad z=\pm\frac{5}{3}\,t.
E lembrando que y=4 é constante, cada reta no espaço é
X(t)=(x,y,z)=(t,4,\pm\tfrac{5}{3}t) =(0,4,0)+t\bigl(1,0,\pm\tfrac{5}{3}\bigr).

Resposta

e. Retas concorrentes de equação: X=(0,4,0)+t\bigl(1,0,\pm \tfrac{5}{3}\bigr)

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