(Questão 02) [ \mathbf{2 , 0} pontos] Dê o centro e o raio da superfície esférica S_{1}, concêntrica com a superfícia esférica S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+3 y-z=0 e que passa pelo ponto P=(2,2,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a esfera S com equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+3y-z=0
e pede uma nova esfera S_{1} que seja concêntrica a S (mesmo centro) e passe pelo ponto P=(2,2,0). Vamos primeiro encontrar o centro de S completando quadrados e depois usar esse centro para calcular o raio de S_{1}.

Passo 2

Escrevemos cada parte quadrática completando quadrados:
x^{2}-2x = (x-1)^{2} -1,\quad y^{2}+3y = \bigl(y+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{9}{4},\quad z^{2}-z = \bigl(z-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{1}{4}.
Substituindo na equação de S, obtemos
(x-1)^{2} -1 \;+\;\bigl(y+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{9}{4}\;+\;(z-\tfrac{1}{2})^{2} - \tfrac{1}{4} = 0
ou seja
(x-1)^{2} + \bigl(y+\tfrac{3}{2}\bigr)^{2} + (z-\tfrac{1}{2})^{2} = 1 + \tfrac{9}{4} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{2}.
Logo o centro de S é
C = \bigl(1,\,-\tfrac{3}{2},\,\tfrac{1}{2}\bigr)
e seu raio é \sqrt{\tfrac{7}{2}}, mas esse último só serve de referência.

Passo 3

Como S_{1} é concêntrica a S, seu centro é o mesmo C=(1,-\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}). Para achar o raio r_{1} de S_{1}, calculamos a distância de C até P=(2,2,0):
r_{1} = \sqrt{(2-1)^{2} + \bigl(2 + \tfrac{3}{2}\bigr)^{2} + \bigl(0-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}} = \sqrt{1 + \bigl(\tfrac{7}{2}\bigr)^{2} + \tfrac{1}{4}} = \sqrt{1 + \tfrac{49}{4} + \tfrac{1}{4}} = \sqrt{\tfrac{27}{2}}.

Resposta

O centro de S_{1} é \bigl(1,-\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\bigr) e seu raio é \sqrt{\tfrac{27}{2}}.

Exercícios relacionados