Fazendo a mudança de variável adequada, resolva:
(0.5) integral x cdot sen(x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular 0,5integral xsin(x^2),dx usando mudança de variável; o conteúdo é integração por substituição (u-sub) e vamos precisar reconhecer que a derivada de x^2 envolve x.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = x^2. Assim, derivando em relação a x, temos du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
A integral original é
0,5integral xsin(x^2),dx
Substituindo x^2 = u e x,dx = tfrac12du obtemos
0,5integral xsin(x^2),dx = 0,5integral sin(u)cdottfrac12,du = tfrac0,52integral sin(u),du = tfrac14integral sin(u),du

Passo 4

Integramos sin(u). Sabemos que
integral sin(u),du = -cos(u) + C
Logo,
tfrac14integral sin(u),du = tfrac14l(-cos(u)r) + C = -tfrac14cos(u) + C

Passo 5

Retornando à variável x, usamos u = x^2. Assim, a resposta final é
-tfrac14cos(x^2) + C

Resposta

-\tfrac{1}{4}\cos(x^2) + C

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