Fazendo uma permutação das equações do sistema se necessário, verifique que o método iterativo de Jacobi converge em cada um dos sistemas abaixo:
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}-14 x_{2} & =4 \\\\ 8 x_{1}+2 x_{2} & =10\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o método iterativo de Jacobi converge para o sistema
\begin{cases} 2x_{1}-14x_{2}=4,\\[4pt] 8x_{1}+2x_{2}=10. \end{cases}
Informações fornecidas: os coeficientes e termos independentes das duas equações estão explícitos acima. O enunciado permite permutar as equações se necessário. A tarefa é apenas verificar a convergência do método de Jacobi (não é pedir a solução numérica).]

Passo 2

O que é o método de Jacobi e qual critério de convergência vamos usar (aula rápida e direta).
  • Seja um sistema linear A x = b, com A matriz quadrada, x vetor incógnita e b vetor de termos independentes.
  • Decompomos A em A = D + R, onde D é a matriz diagonal contendo os elementos diagonais de A e R contém os restantes (isto é, a soma das partes estritamente triangular inferior e superior).
  • A iteração de Jacobi é dada por
x^{(k+1)} = -D^{-1} R\, x^{(k)} + D^{-1} b.
  • O ponto importante para convergência é a matriz de iteração
T = -D^{-1}R.
O método de Jacobi converge para qualquer condição inicial se, e somente se, o raio espectral de T satisfizer \rho(T)<1, onde \rho(T) é o maior módulo (valor absoluto) entre os autovalores de T.
  • Um critério simples e suficiente (útil em provas) é: se A for estritamente diagonal dominante por linhas, isto é, para todo i
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,
então o método de Jacobi converge. Esse critério é suficiente (não necessário), e é fácil de verificar sem calcular autovalores — por isso vamos usá-lo como primeira verificação.

Passo 3

Verificação da dominância diagonal na ordem dada.
  • Para a primeira linha (original): o elemento diagonal é a_{11}=2 e o somatório dos módulos dos outros coeficientes da linha é |a_{12}|=|{-14}|=14. Comparando,
|a_{11}| = 2 \not> 14 = \sum_{j\neq1}|a_{1j}|.
Logo a primeira linha não é estritamente diagonal dominante.
  • Para a segunda linha (original): a_{22}=2 e |a_{21}|=8, temos
|a_{22}| = 2 \not> 8 = \sum_{j\neq2}|a_{2j}|.
Também não é estritamente diagonal dominante.
Portanto, na ordem dada não há dominância diagonal. Vamos aplicar a permutação sugerida pelo enunciado: trocar a ordem das equações (trocar as linhas da matriz), isto é, colocar a segunda equação primeiro.

Passo 4

Sistema após permutar as equações (trocar a ordem):
\begin{cases} 8x_{1}+2x_{2}=10,\\[4pt] 2x_{1}-14x_{2}=4. \end{cases}
Agora verificamos dominância diagonal linha a linha:
  • Primeira linha (agora): a_{11}=8 e |a_{12}|=2. Temos 8>2.
  • Segunda linha: a_{22}=-14 e |a_{21}|=2. Temos |-14|=14>2.
    Como em ambas as linhas o módulo do elemento diagonal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos da linha, a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas nesta ordem. Pelo critério suficiente, o método de Jacobi converge.
    Para reforçar e ensinar outra forma de verificar (mais mecânica), vamos construir a matriz de iteração T e calcular o raio espectral.]

Passo 5

Construção da matriz de iteração T para o sistema permutado e cálculo do raio espectral.
  • A matriz A (após permuta) é
A=\begin{pmatrix}8 & 2\\[4pt] 2 & -14\end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}10\\[4pt]4\end{pmatrix}.
  • A diagonal D e o resto R são
D=\begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt]0 & -14\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}.
  • A matriz de iteração é
T = -D^{-1}R.
Calcule D^{-1}: D^{-1}=\begin{pmatrix}1/8 & 0\\[4pt]0 & -1/14\end{pmatrix}. Então
D^{-1}R=\begin{pmatrix}1/8 & 0\\[4pt]0 & -1/14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 2/8\\[4pt]-2/14 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1/4\\[4pt]-1/7 & 0\end{pmatrix}.
Assim
T=-D^{-1}R=\begin{pmatrix}0 & -1/4\\[4pt]1/7 & 0\end{pmatrix}.
  • Agora os autovalores de uma matriz da forma \begin{pmatrix}0 & c\\[4pt] d & 0\end{pmatrix} são \lambda=\pm\sqrt{cd}. Aqui c=-1/4 e d=1/7, de modo que
cd = -\frac{1}{28}.
Logo os autovalores são
\lambda = \pm\sqrt{-\frac{1}{28}} = \pm i\sqrt{\frac{1}{28}}.
Os módulos desses autovalores são ambos \sqrt{1/28}. Assim o raio espectral é
\rho(T)=\sqrt{\frac{1}{28}}=\frac{1}{\sqrt{28}}\approx 0,18898<1.
Como \rho(T)<1, isso confirma (pela condição necessária e suficiente) que a iteração de Jacobi converge para este sistema na ordem permutada.]

Passo 6

Conclusão final, de forma direta e motivadora: permutando as equações (colocando a equação 8x_{1}+2x_{2}=10 em primeiro lugar) a matriz do sistema fica estritamente diagonal dominante por linhas, o que já garante a convergência do método de Jacobi. O cálculo explícito da matriz de iteração mostrou que o raio espectral \rho(T)=1/\sqrt{28} é menor que 1, confirmando a convergência. Você conseguiu — o Jacobi converge após a permutação indicada!

Resposta

Converge (após permutar as equações).

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