Fazendo uma permutação das equações do sistema se necessário, verifique que o método iterativo de Jacobi converge em cada um dos sistemas abaixo: \left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+4 x_{2}-3 x_{3}+2 x_{4} & =-3 \\\\ 3 x_{1}-9 x_{2}+4 x_{3}-x_{4} & =-8 \\\ x_{1}+x_{2}-6 x_{3}+3 x_{4} & =0 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+6 x_{3}-12 x_{4} & =9\end{aligned}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se o método iterativo de Jacobi converge para o sistema linear abaixo (pode permutar equações se necessário):
Pergunta precisa: decidir se o método de Jacobi converge para este sistema (após permutar linhas, se necessário).]
Passo 2
O que é o método de Jacobi (explicação didática): dado A x=b, escrevemos A como soma da diagonal e do resto:
A = D + R,
onde D é a matriz diagonal com as entradas \,a_{ii}\, e R=A-D contém as entradas fora da diagonal. A iteração de Jacobi é
x^{(k+1)} = D^{-1}(b - R x^{(k)}).
Isto pode ser reescrito como
x^{(k+1)} = B\,x^{(k)} + D^{-1}b,
onde a matriz de iteração é
B = -D^{-1}R.
Critério de convergência (conceito e por quê): a sequência x^{(k)} converge para a solução para qualquer chute inicial se, e somente se, o raio espectral de B satisfaz \rho(B)<1. Calcular \rho(B) diretamente pode ser difícil, então usamos uma condição suficiente muito prática: se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, se para cada i
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
então o método de Jacobi converge. Explicação curta do porquê (sem jargões): se a desigualdade acima vale, então, formando B com entradas b_{ij}=-a_{ij}/a_{ii} para j\ne i e b_{ii}=0, cada linha de B tem soma absoluta menor que 1. Assim a norma infinita \|B\|_\infty=\max_i\sum_j|b_{ij}|<1. Como \rho(B)\le\|B\|_\infty, segue \rho(B)<1 e portanto há convergência. Esse é um argumento direto e útil em provas/questões de prova.
Passo 3
Aplicando a verificação de dominância diagonal linha a linha (mostro todos os cálculos para você aprender a checar rápido na prova).
Para cada linha i calcule |a_{ii}| e S_i=\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Comparação: 12 > 9. linha 4 é estritamente dominante.
Observação sobre permutar linhas: já que todas as quatro linhas satisfazem a condição de dominância estrita, não é necessário permutar o sistema. Se alguma linha não fosse dominante, poderíamos tentar permutar linhas (reordenar as equações) para obter dominância; se nenhuma permutação desse dominância estrita, a condição suficiente não se aplicaria — ainda assim a convergência poderia acontecer, mas aí seria preciso um estudo do raio espectral ou outra condição.
Passo 4
Construo a matriz de iteração B e verifico a norma infinita explicitamente para consolidar o raciocínio (isso ajuda você na prova porque mostra o cálculo numérico do fator de convergência).
Entrada geral de B: para i\ne j,
b_{ij} = -\frac{a_{ij}}{a_{ii}}, \qquad b_{ii}=0.
Vou escrever B numericamente calculando cada b_{ij}:
Como \rho(B)\le\|B\|_\infty, segue \rho(B)<1, e então o método de Jacobi converge para qualquer chute inicial.
Passo 5
Recapitulando com linguagem de prova curta (o que vale mostrar na prova): todas as linhas satisfazem
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
logo A é estritamente diagonal dominante por linhas. Daí a matriz de iteração B=-D^{-1}R satisfaz \|B\|_\infty<1, implicando \rho(B)<1. Consequentemente, o método de Jacobi converge para o sistema dado. Eu sei que bate aquele desespero antes da prova — mas fazer essa checagem de dominância é rápido e garante a convergência sem precisar calcular autovalores.
Resposta
O método de Jacobi converge para o sistema, pois a matriz A é estritamente diagonal dominante por linhas (|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada i), o que implica \rho(B)<1.