Fazendo uma permutação das equações do sistema se necessário, verifique que o método iterativo de Jacobi converge em cada um dos sistemas abaixo:
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+4 x_{2}-3 x_{3}+2 x_{4} & =-3 \\\\ 3 x_{1}-9 x_{2}+4 x_{3}-x_{4} & =-8 \\\ x_{1}+x_{2}-6 x_{3}+3 x_{4} & =0 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+6 x_{3}-12 x_{4} & =9\end{aligned}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se o método iterativo de Jacobi converge para o sistema linear abaixo (pode permutar equações se necessário):
\begin{cases} 10 x_{1}+4 x_{2}-3 x_{3}+2 x_{4} = -3\\[4pt] 3 x_{1}-9 x_{2}+4 x_{3}-x_{4} = -8\\[4pt] x_{1}+x_{2}-6 x_{3}+3 x_{4} = 0\\[4pt] 2 x_{1}-x_{2}+6 x_{3}-12 x_{4} = 9 \end{cases}
Informações dadas relevantes (extraídas diretamente do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 10 & 4 & -3 & 2\\[4pt] 3 & -9 & 4 & -1\\[4pt] 1 & 1 & -6 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 6 & -12 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-8\\[4pt]0\\[4pt]9\end{pmatrix}.
Pergunta precisa: decidir se o método de Jacobi converge para este sistema (após permutar linhas, se necessário).]

Passo 2

O que é o método de Jacobi (explicação didática): dado A x=b, escrevemos A como soma da diagonal e do resto:
A = D + R,
onde D é a matriz diagonal com as entradas \,a_{ii}\, e R=A-D contém as entradas fora da diagonal. A iteração de Jacobi é
x^{(k+1)} = D^{-1}(b - R x^{(k)}).
Isto pode ser reescrito como
x^{(k+1)} = B\,x^{(k)} + D^{-1}b,
onde a matriz de iteração é
B = -D^{-1}R.
Critério de convergência (conceito e por quê): a sequência x^{(k)} converge para a solução para qualquer chute inicial se, e somente se, o raio espectral de B satisfaz \rho(B)<1. Calcular \rho(B) diretamente pode ser difícil, então usamos uma condição suficiente muito prática: se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, se para cada i
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
então o método de Jacobi converge. Explicação curta do porquê (sem jargões): se a desigualdade acima vale, então, formando B com entradas b_{ij}=-a_{ij}/a_{ii} para j\ne i e b_{ii}=0, cada linha de B tem soma absoluta menor que 1. Assim a norma infinita \|B\|_\infty=\max_i\sum_j|b_{ij}|<1. Como \rho(B)\le\|B\|_\infty, segue \rho(B)<1 e portanto há convergência. Esse é um argumento direto e útil em provas/questões de prova.

Passo 3

Aplicando a verificação de dominância diagonal linha a linha (mostro todos os cálculos para você aprender a checar rápido na prova).
Para cada linha i calcule |a_{ii}| e S_i=\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Linha 1:
|a_{11}| = |10| = 10, \qquad S_1 = |4| + |-3| + |2| = 4+3+2 = 9.
Comparação: 10 > 9. logo a linha 1 é estritamente dominante.
Linha 2:
|a_{22}| = |-9| = 9, \qquad S_2 = |3| + |4| + |-1| = 3+4+1 = 8.
Comparação: 9 > 8. linha 2 é estritamente dominante.
Linha 3:
|a_{33}| = |-6| = 6, \qquad S_3 = |1| + |1| + |3| = 1+1+3 = 5.
Comparação: 6 > 5. linha 3 é estritamente dominante.
Linha 4:
|a_{44}| = |-12| = 12, \qquad S_4 = |2| + |-1| + |6| = 2+1+6 = 9.
Comparação: 12 > 9. linha 4 é estritamente dominante.
Observação sobre permutar linhas: já que todas as quatro linhas satisfazem a condição de dominância estrita, não é necessário permutar o sistema. Se alguma linha não fosse dominante, poderíamos tentar permutar linhas (reordenar as equações) para obter dominância; se nenhuma permutação desse dominância estrita, a condição suficiente não se aplicaria — ainda assim a convergência poderia acontecer, mas aí seria preciso um estudo do raio espectral ou outra condição.

Passo 4

Construo a matriz de iteração B e verifico a norma infinita explicitamente para consolidar o raciocínio (isso ajuda você na prova porque mostra o cálculo numérico do fator de convergência).
Entrada geral de B: para i\ne j,
b_{ij} = -\frac{a_{ij}}{a_{ii}}, \qquad b_{ii}=0.
Vou escrever B numericamente calculando cada b_{ij}:
Primeira linha de B:
b_{12} = -\frac{4}{10} = -0{,}4,\quad b_{13} = -\frac{-3}{10} = 0{,}3,\quad b_{14} = -\frac{2}{10} = -0{,}2.
Segunda linha de B:
b_{21} = -\frac{3}{-9} = \frac{1}{3}\approx 0{,}333\ldots,\quad b_{23} = -\frac{4}{-9} = \frac{4}{9}\approx 0{,}444\ldots,\quad b_{24} = -\frac{-1}{-9} = -\frac{1}{9}\approx -0{,}111\ldots.
Terceira linha de B:
b_{31} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}\approx 0{,}166\ldots,\quad b_{32} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}\approx 0{,}166\ldots,\quad b_{34} = -\frac{3}{-6} = \frac{1}{2}=0{,}5.
Quarta linha de B:
b_{41} = -\frac{2}{-12} = \frac{1}{6}\approx 0{,}166\ldots,\quad b_{42} = -\frac{-1}{-12} = -\frac{1}{12}\approx -0{,}0833\ldots,\quad b_{43} = -\frac{6}{-12} = \frac{1}{2}=0{,}5.
Agora as somas das absolutas das linhas de B, que são exatamente os quocientes S_i/|a_{ii}| já calculados:
Linha 1: \sum_j|b_{1j}| = \dfrac{9}{10} = 0{,}9.
Linha 2: \sum_j|b_{2j}| = \dfrac{8}{9}\approx 0{,}888\ldots.
Linha 3: \sum_j|b_{3j}| = \dfrac{5}{6}\approx 0{,}833\ldots.
Linha 4: \sum_j|b_{4j}| = \dfrac{9}{12}=0{,}75.
Portanto
\|B\|_\infty = \max_i \sum_j |b_{ij}| = 0{,}9 < 1.
Como \rho(B)\le\|B\|_\infty, segue \rho(B)<1, e então o método de Jacobi converge para qualquer chute inicial.

Passo 5

Recapitulando com linguagem de prova curta (o que vale mostrar na prova): todas as linhas satisfazem
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|,
logo A é estritamente diagonal dominante por linhas. Daí a matriz de iteração B=-D^{-1}R satisfaz \|B\|_\infty<1, implicando \rho(B)<1. Consequentemente, o método de Jacobi converge para o sistema dado. Eu sei que bate aquele desespero antes da prova — mas fazer essa checagem de dominância é rápido e garante a convergência sem precisar calcular autovalores.

Resposta

O método de Jacobi converge para o sistema, pois a matriz A é estritamente diagonal dominante por linhas ( |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para cada i), o que implica \rho(B)<1.

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