para cada i=1, \ldots, n. Ou seja, a soma dos valores absolutos dos elementos de uma linha i que não pertencem à diagonal principal é menor que o valor absoluto do elemento da mesma linha que está na diagonal principal.
a) Verifique que, depois de feita alguma permutação das equações, caso necessário, as matrizes dos coeficientes dos sistemas do Exercício 4 são estritamente diagonal dominantes.
b) Mostre que se um sistema da forma
tem uma matriz de coeficientes A=\left(a_{i j}\right) estritamente diagonal dominante, então o método de Jacobi é convergente. (Observação: O mesmo resultado vale para sistemas de qualquer tamanho em que o número de equações é igual ao número de incógnitas.)
c) Resolva os sistemas lineares do Exercício 4 pelo método de Jacobi utilizando quatro iterações. Qual a precisão alcançada para cada um dos sistemas?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Verificar que, depois de eventualmente permutar as equações, as matrizes dos coeficientes dos sistemas do Exercício 4 são estritamente diagonal dominantes; isto é, para cada linha i deve valer
(b) Mostrar que se um sistema 3\times3 tem matriz de coeficientes A=(a_{ij}) estritamente diagonal dominante, então o método de Jacobi é convergente.
(c) Resolver os sistemas lineares do Exercício 4 pelo método de Jacobi usando quatro iterações e informar a precisão alcançada.
Informação importante: o enunciado refere-se aos “sistemas do Exercício 4”, mas esses sistemas (os coeficientes a_{ij} e termos b_i) não foram fornecidos aqui. Portanto:
Não é possível verificar explicitamente (a) porque não tenho as matrizes do Exercício 4 para checar ou permutar linhas.
Não é possível executar (c) porque não tenho os sistemas numéricos para realizar as quatro iterações.
Abaixo eu realizo a parte que posso fazer sem os dados (a demonstração teórica de (b)), e ensino passo a passo como proceder em (a) e (c) se você me mandar os sistemas ou quando você os tiver.
Passo 2
Entendendo o método de Jacobi e a escrita matricial do sistema (aula prática)
Considere o sistema linear geral de 3\) equações e \(3\) incógnitas dado no enunciado:
\[\begin{cases} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13} x_{3}=b_{1},\\[4pt] a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+a_{23} x_{3}=b_{2},\\[4pt] a_{31} x_{1}+a_{32} x_{2}+a_{33} x_{3}=b_{3}. \end{cases}
Em forma matricial escrevemos \,A x = b\], onde
\[A=\left(a_{ij}\right)_{3\times3},\quad x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}b_1\\[4pt]b_2\\[4pt]b_3\end{pmatrix}.\]
- Separe \(A em A = D - (L+U), onde:
- D é a matriz diagonal com entradas d_{ii}=a_{ii} e zeros fora da diagonal;
- L é a matriz estritamente triangular inferior com entradas -a_{ij} para i>j (nota: estou escolhendo a convenção de escrita que torna o sinal consistente com a iteração);
- U é a matriz estritamente triangular superior com entradas -a_{ij} para i<j.
Para fins práticos aqui basta saber que D contém os a_{ii} e L+U contém os coeficientes fora da diagonal.
- O método de Jacobi atualiza as incógnitas usando somente os valores antigos no lado direito: a fórmula componente a componente é
Para estudar convergência, estudamos o erro e^{(k)} := x^{(k)}-x^\star, onde x^\star é a solução exata. Subtraindo a relação fixa x^\star = G x^\star + D^{-1}b da iteração, obtemos
e^{(k+1)} = G\, e^{(k)}.
Logo, a convergência do método equivale ao decaimento da sequência e^{(k)}, que depende de G.]
Passo 3
Normas de vetor e de matriz e a escolha prática para provar convergência
Definição prática (norma infinito ou norma de linha): para um vetor v=(v_1,v_2,v_3)^\top,
\|v\|_\infty := \max_{1\le i\le 3} |v_i|.
Isto mede o maior valor absoluto entre as componentes.
A norma induzida de operador (ou norma de matriz) correspondente é
Como \|G\|_\infty<1, o fator \|G\|_\infty^{k+1}\to0 quando k\to\infty. Portanto e^{(k)}\to 0 e o método de Jacobi converge para a solução exata x^\star, para qualquer chute inicial x^{(0)}.
Observação intuitiva: estrita dominância diagonal garante que cada variável é “principal” na sua equação (coeficiente diagonal grande em relação aos outros), então ao atualizar as incógnitas usando os velhos valores você está fazendo correções que tendem a reduzir o erro (contracção).
Passo 5
Como verificar (a) e como executar (c) na prática — passo a passo operacional (para você aplicar quando tiver os sistemas)
Para (a) — verificar dominância (procedimento):
Pegue a matriz de coeficientes A=(a_{ij}) do sistema. Para cada linha i calcule s_i := \sum_{j\neq i} |a_{ij}| e compare com |a_{ii}|.
Se para toda linha i tiver s_i < |a_{ii}|, então A já é estritamente diagonal dominante.
Se alguma linha falhar, você pode tentar permutar linhas (isto é, trocar equações entre si) para ver se existe uma permutação que faça com que cada linha permutada satisfaça s_i<|a_{ii}|. Na prática, isso equivale a tentar reconhecer um pivô em cada linha maior em magnitude do que a soma dos outros elementos da linha. Se você me enviar as matrizes eu faço as permutações e a verificação explicitamente.
Para (c) — aplicar Jacobi e medir a precisão (procedimento e dica prática):
Escreva as fórmulas iterativas componente a componente (como em Passo 2).
Escolha um chute inicial x^{(0)} (comum: vetor nulo).
Calcule x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(4)} usando as fórmulas de Jacobi (substituindo sempre os valores da iteração anterior).
Para medir a precisão após 4 iterações use uma das duas medidas usuais:
diferença entre iterações sucessivas (estimativa prática do erro):
r^{(4)} = b - A x^{(4)},\qquad \text{resíduo}_\infty = \|r^{(4)}\|_\infty = \max_{i}|b_i-\sum_j a_{ij}x^{(4)}_j|.íO resíduo dá uma ideia direta de quão bem x^{(4)} satisfaz as equações; a diferença entre iterações dá uma estimativa prática do quanto o vetor está mudando (se mudar pouco, já pode estar perto).
Se quiser transformar o resíduo em uma estimativa do erro do vetor solução, use a desigualdade (prática)\|e^{(4)}\|_\infty \le \frac{\|D^{-1}\|_\infty}{1-\|G\|_\infty}\,\|r^{(4)}\|_\infty,que pode ser deduzida da teoria (mas normalmente na prova basta relatar \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty ou \|r^{(4)}\|_\infty). Note que \|D^{-1}\|_\infty = \max_i \frac{1}{|a_{ii}|}.
Se você me mandar os sistemas do Exercício 4 eu:
Faço a verificação pedida em (a), mostrando os cálculos das somas de cada linha e indicando permutações (se houver) utilizadas.
Faço as quatro iterações de Jacobi mostrando cálculo elemento a elemento (sem pular etapas).
Calculo \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty e \|r^{(4)}\|_\infty e dou a interpretação da precisão alcançada.
Resposta
(a) Não é possível verificar sem as matrizes do Exercício 4 (os coeficientes não foram fornecidos).\n
(b) O método de Jacobi é convergente quando A é estritamente diagonal dominante, porque a matriz de iteração G=D^{-1}(L+U) satisfaz
logo \|e^{(k+1)}\|_\infty\le\|G\|_\infty\|e^{(k)}\|_\infty implica e^{(k)}\to0.\n
(c) Não é possível executar as quatro iterações nem informar a precisão sem os sistemas numéricos do Exercício 4 (os coeficientes e termos independentes não foram fornecidos).